华师大附中2011届数学复习教学案：向量小结与复习

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1、课题：向量小结与复习（1）教学目的：1了解本章知识网络结构；2进一步熟悉基本概念及运算律；3理解重要定理、公式并能熟练应用；4加强数学应用意识，提高分析问题，解决问题的能力5认识事物之间的相互转化；6培养学生的数学应用意识教学重点：突出本章重、难点内容教学难点：通过例题分析突出向量运算与实数运算的区别授课类型：复习课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学方法:自学辅导法在给出本章的知识网络结构后，列出复习提纲，引导学生补充相关内容，同时加强学生对基本概念、基本运算律、重要定理、公式的熟悉程度教学过程：一、引

2、入前面一段，我们一起学习了向量的知识以及解斜三角形问题，并掌握了一定的分析问题解决问题的方法这一节，我们开始对本章进行小结与复习二本章知识1本章知识网络结构2本章重点及难点(1)本章的重点有向量的概念、运算及坐标表示，线段的定比分点，平移、正弦定理、余弦定理及其在解斜三角形中的应用；(2)本章的难点是向量的概念，向量运算法则的理解和运用，已知两边和其中一边的对角解斜三角形等；(3)对于本章内容的学习，要注意体会数形结合的数学思想方法的应用3向量的概念(1)向量的基本要素：大小和方向(2)向量的表示：几何表示法，；

3、坐标表示法(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜｜(4)特殊的向量：零向量＝｜｜＝0单位向量为单位向量｜｜＝1(5)相等的向量：大小相等，方向相同(6)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量记作∥由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量4向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1平行四边形法则2三角形法则向量的减法三角形法则向量的乘法1是一个向量,满足

4、:2>0时,与同向;<0时,与异向;=0时,=0∥向量的数量积是一个数1或时,=02且时,5重要定理、公式：(1)平面向量基本定理是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数，使(2)两个向量平行的充要条件∥＝λ(3)两个向量垂直的充要条件⊥·＝O(4)线段的定比分点公式设点P分有向线段所成的比为λ，即＝λ，则＝＋(线段的定比分点的向量公式)(线段定比分点的坐标公式)当λ＝1时，得中点公式：＝（＋）或(5)平移公式设点按向量平移后得到点，则＝+或，曲线按向量平移后所得的曲线的

5、函数解析式为：(6)正、余弦定理正弦定理：余弦定理：三、讲解范例：例1在四边形ABCD中，·＝·＝·＝·，试证明四边形ABCD是矩形分析：要证明四边形ABCD是矩形，可以先证四边形ABCD为平行四边形，再证明其一组邻边互相垂直为此我们将从四边形的边的长度和位置两方面的关系来进行思考证明：设＝a，＝b，＝c，＝d，则∵a＋b＋c＋d＝O∴a＋b＝－（c＋d)两边平方得｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2＝｜c｜2＋2c·d＋｜d｜2，又a·b＝c·d∴｜a｜2＋｜b｜2＝｜c｜2＋｜d｜2（1）同理｜a｜＋｜d｜2＝｜b｜

6、2＋｜c｜2（2）由(1)(2)得｜a｜2＝｜c｜2，｜d｜2＝｜b｜2，∴a＝c，d＝b，即AB＝CD，BC＝DA∴四边形ABCD是平行四边形于是＝－，即a＝－c，又a·b＝b·c，故a·b＝b·（－a）∴a·b＝O∴⊥∴四边形ABCD为矩形评述：向量具有二重性，一方面具有“形”的特点，另一方面又具有一套优良的运算性质，因此，对于某些几何命题的抽象的证明，自然可以转化为向量的运算问题来解决，要注意体会例2设坐标平面上有三点A、B、C，ｉ，j分别是坐标平面上x轴，y轴正方向的单位向量，若向量＝ｉ－2j，＝ｉ

7、＋ｍj，那么是否存在实数ｍ，使A、B、C三点共线分析：可以假设满足条件的ｍ存在，由A、B、C三点共线∥存在实数λ，使＝λ，从而建立方程来探索解法一：假设满足条件的ｍ存在，由A、B、C三点共线，即∥，∴存在实数λ，使＝λ，ｉ－2j＝λ（ｉ＋ｍj），∴ｍ＝－2∴当ｍ＝－2时，A、B、C三点共线解法二：假设满足条件的ｍ存在，根据题意可知：ｉ＝（1，O），j＝（O，1）∴＝（1，O）－2（O，1）＝（1，－2），＝（1，O）＋ｍ（O，1）＝（1，ｍ），由A、B、C三点共线，即∥，故1·ｍ－1·（－2）＝O解得ｍ＝－2

8、∴当ｍ＝－2时，A、B、C三点共线评述：(1)共线向量的充要条件有两种不同的表示形式，但其本质是一样的，在运用中各有特点，解题时可灵活选择(2)本题是存在探索性问题，这类问题一般有两种思考方法，即假设存在法——当存在时；假设否定法——当不存在时四、课堂练习：1判断题(