poisson分布地全参数估计

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1、实用标准Poisson分布的参数估计作者：高晨指导老师：戴林送摘要泊松分布是概率统计学科中一种重要的离散分布，在参数估计这块，对点估计，矩估计，最大似然估计以及近似的区间估计等，该文中对泊松分布的相关知识，包括其性质，参数的相关估计，研究了泊松分布的一些性质，参数的估计，以及一些在生活中的简单应用。关键词分布参数估计性质简单应用1引言Poisson分布是离散型随机变量作为大量试验中稀有事件出现的频数的概率分布的数学模型，其中可能取值为0，1，2，……而取各个值的概率为：其中是常数，称服从参数为的泊松.1

2、.1相关定义1.离散型随机变量的函数分布律，若级数绝对收敛，称级数为随机变量的数学期望，=.2.定理：是随机变量的函数，是连续函数），是离散型随机变量，若绝对收敛，则=.3.随机变量，若存在，则称为的方差，记为或，即==.文档实用标准（与有相同的量纲），称为标准差或均方差。注记：是刻画取值分散程度的一个量，也可以看成是函数=的数学期望。离散型随机变量，=.其中是的分布律。=2性质2.1.Poisson分布中具有即满足我们知道，无论是离散型或是非离散型的随机变量都可以借助分布函数来描述，落在任意区间的概率

3、..2.2数字特征2.21数学期望Poisson分布：=2.22方差Poisson分布：，的方差.文档实用标准由上知，Poisson分布的数学期望为参数，=Poisson分布==，也就是说在Poisson分布中只含有一个参数，只要知道一个Poisson分布的数学期望或者方差就能够完全确定它的分布。3相关定理定理【1】随机变量服从二项分布，其分布律为又设是常数，则.证明由得：=显然当k=0时,故。当且时，有，从而，故文档实用标准.定理[2]设是服从参数为的泊松分布的随即向量,则:证明已知的特征函数为,故的

4、特征函数为：对任意的t,有.于是从而对任意的点列，有.但是是分布的特征函数,由于分布函数列弱收敛于分布函数的充要条件是相应的特征函数列收敛于的特征函数.所以成立;又因为是可以任意选取的,这就意味着成立.4参数估计4.1Poisson分布参数的点估计。为估计母体的参数值的大小，具体抽取样本值。再把样本值文档实用标准放入原来的样本。构造统计量。把代入得的统计值用作的近似值，用来计算参数的估计值的统计量称为参数的估计量。4.2参数的两个最大似然估计0为未知参数设为子样一组观测值似然函数是的可导函数，用导数求极

5、值得得使达到极大值，从而得的极大似然估计量。设的函数具有单值反函数，又设是的概率分布中参数的最大似然估计，则为最大似然估计。易知，由的单调性，得的一个最大似然估计为在讨论估计量的性质之前，给出该参数的另一个最大似然估计量。对样本做如下变换：这样得到来自总体的样本，其中服从两点分布，其中，这正是待估计的参数。容易知道的最大似然估计为的样本均值，文档实用标准其中为示性函数。这样我们就得到同一个参数的两个最大似然估计量：由于前者利用了泊松分布的信息，而后者没有利用分布信息，所以称前者为“参数的最大似然估计”，

6、后者为“非参数的最大似然估计”。4.3参数的无偏估计当总体为泊松分布时，即未知参数，可以证明样本均值和样本方差都是总体参数的无偏估计。推广到一般情况，对任意的实数也都是的无偏估计，即或或。引理1设是来自该总体泊松分布的一个样本，则。证明因为，且和相互独立，的概率分布为即.由归纳法得到.结论1设函数，可以证明的无偏估计为，而不是.证明有引理1，文档实用标准.而.结论2已知函数可以证明的无偏估计为（取偶数值时为1，取奇数值时为-1），而不是.证明令估计量，而结论3再考虑也是未知参数的一个函数，但它的无偏估计

7、不是而是.证明文档实用标准而结论4已知函数，可以证明的无偏估计为而不是。证明。令估计量，而.一般性结论命题1无偏估计不一定存在。比如，设样本来自二项分布总体，样本量为1，已知，而未知，，函数的无偏估计不存在。命题2设和分别是未知参数的可估函数和文档实用标准的无偏估计量，则是的无偏估计量。这里，为任意实数。证明因为，又因为，所以是的无偏估计量。命题3无偏估计量不一定唯一。样本均值和样本方差都是总体参数的无偏估计。命题4能借助的无偏估计来求的无偏估计。设总体服从指数分布总体，从总体中抽取一组样本，设是的无偏

8、估计量。的概率密度为，记，这里为未知参数。的无偏估计是。今由的无偏估计构造的无偏估计，为此取为修正系数，要使成立，而故取系数。此时成立，故的无偏估计为。4.4参数的区间估计泊松分布的区间估计，一般是利用中心极限定理来实现。对于大容量样本，这种估计是可行的，然而，对于同样的置信水平，这种近似估计的误差会随着容量的减小而增大。可以通过建立分布和分布的某种联系给出一种较为理想的区间估计，实际表明这种计较用中心极限定理效果好。设总体服从参数为（）的