第4章 恒定电场

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1、本章基本内容电流与电流密度第四章恒定电场恒定电场的基本方程导电媒质中的能量损耗恒定电场的边界条件王亚峰恒定电场与静电场的比拟wangyf@bupt.edu.cn2009-10-14电磁场与电磁波12009-10-14电磁场与电磁波2电流与电流密度电流与电流密度恒定电场：恒定电流空间中存在的电场电流密度矢量：描述空间中不均匀运动电荷流动的量。电流：单位时间穿过面积S的电荷量J=ρvi(t)=limΔq=dq∑v为电荷运动速度矢量，ρ为电荷密度。Δt→0Δtdt通过任意截面S的总电流I，可由电流密度J进行∑传导电

2、流——存在于导电媒质中面积分∑运流电流——存在于真空中离子运动I=∫J⋅dSS2009-10-14电磁场与电磁波32009-10-14电磁场与电磁波4欧姆定律电流连续性方程微分形式的欧姆定律单位时间内流出任何封闭面的电荷量等于同时间内该封闭面中总电荷量的减少率J=σE∑σ为导电媒质的电导率∂q∂î∫JS⋅=dd−=−∫ρVSV∂∂tt电导率σ电阻率故∇⋅JdV=−∂ρdV∫∫VV∂t电导G电阻R∂ρ即∇⋅=−J∂t2009-10-14电磁场与电磁波52009-10-14电磁场与电磁波61恒定电场的基本方程电势

3、表示恒定电场由电场强度满足的方程∇×E=0可知，电流连续性方程E依然可表示为î∫JS⋅=d0∇⋅=J0E=−∇ϕs则电势所满足的方程为电源内部：电场保守性方程∇⋅∇=∇⋅()()σϕσE′î∫cE⋅=dl0∇×=E0电源外部：∇⋅∇=()0σϕ⎧∂ϕ∂ϕ⎪σσ12=边界条件：12⎨∂nn∂⎪ϕϕ=⎩122009-10-14电磁场与电磁波72009-10-14电磁场与电磁波8恒定截面均匀导体的“电阻”例题V球形电容器内外导体半径分别是a、b，两导体间由于I介质的电导率为σ，求此电容器的漏电导。IJS=⋅=⋅⋅⇒

4、=σESEσσ⋅SISIlllUE==l=⇒=IRRσ⋅⋅SSσ电导率(Conductivity)：单σ位：A/(V·m)或S/m恒定截面均匀导体的电阻：lR=σ⋅S2009-10-14电磁场与电磁波92009-10-14电磁场与电磁波10例题导电媒质中的能量损耗解：由高斯定律可求出介质中的电场在dt时间内，外电场力把电荷dq移动dl距离，所qEe=

5、11qPI==⋅=ElJEdS⋅=dldJE⋅V导体间的电位差UE==∫dr⎜⎟−dta⎝⎠ab4πε0⎛⎞11功率密度为p=J⋅E电容器漏电导GIU==4/πσ⎜⎟−⎝⎠ab焦耳定律的微分形式2009-10-14电磁场与电磁波112009-10-14电磁场与电磁波122恒定电场的边界条件恒定电场与静电场的比拟微分形式基本方程E＝E恒定电场静电场1t2tJ1n＝J2n⎧∇⋅=J0⎧∇⋅D=0⎨⎨由E1sinα1＝E2sinα1⎩∇×=E0⎩∇×E=0σ1E1cosα1＝σ2E2cosα2E=−∇ϕE=−∇ϕ得

6、tgα1/tgα2=σ1/σ2对应量DJEE2009-10-14电磁场与电磁波132009-10-14电磁场与电磁波14恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟边界条件电位方程恒定电场静电场恒定电场静电场⎧E=E⎧EE=2∇=2ϕ012tt12tt∇ϕ=0⎨⎨⎩J12nn=J⎩DD12nn=场与介质⎧∂∂ϕϕ⎧∂∂ϕϕ⎪σσ12=⎪εε12=1212⎨∂∂nn⎨∂∂nnJ=σEDE=ε⎪ϕϕ=⎪ϕϕ=⎩12⎩122009-10-14电磁场与电磁波152009-10-14电磁场与电磁波16恒定电场与静电场的

7、比拟例题基本量恒定电场静电场同轴线内外导体半径分别为a和b，其间填充介I∫J⋅dSqî∫D⋅dS质的电导率为σ。求同轴线单位长度的横向漏SC==SG==电导。U∫E⋅dlU∫E⋅dlllσ∫E⋅dSεî∫SES⋅d=S=∫El⋅d∫El⋅dllI=⋅∫SJdSqd=⋅î∫SDS对应量IqGC2009-10-14电磁场与电磁波172009-10-14电磁场与电磁波183例题例题方法一：通过电流I求电流密度Jr，求出Er，从内外导体间的电压为而由电压求漏电导G。bI⎛⎞bUE==drln⎜⎟∫r解：设漏电流为I，

8、则半径为r处的电流密度为a2πσ⎝⎠aI故横向漏电导为J=r2πrI2πσ电场强度为G==U⎛⎞bJIln⎜⎟E==r⎝⎠arσ2πσr2009-10-14电磁场与电磁波192009-10-14电磁场与电磁波20例题例题方法二：通过电荷q求电场Er，然后求出电压内外导体间的漏电流为U，电流I，从而求出漏电导G。I=∫∫J⋅=ddSEσ⋅SSS解：设内导体单位长度带电荷为q，由介质中的=⋅σEdS=E