四元数等超复数的解析与物理铨释

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1、http://www.paper.edu.cn四元数等超复数的解析与物理铨释李裕信湖南省长沙市邮政局,湖南长沙(410001)E-mail：lyx9989@126.com摘要：从Hamilton四元数的代数结构出发，本文讨论了实系数四元数的Pauli矩阵表示形式Dirac矩阵表示形式、指数表示形式、三角表示形式等九种表示式、四元数的转动算符特性以及在四元数环和Dirac环中实数复数开方运算的无穷多个根的一般表示式。特别是本文研究了四元数等超复数的物理诠释问题，解析了四元数等超复数与时空多维性、时空虚实性、自旋同位旋和物理的“手征性”效应

2、、简并性现象、Cherenkov辐射以及Dirac方程等的深刻联系。指出了这些现象的代数本质。此外，文章还讨论了四元数形式的矢量微分运算的一组计算公式。关键词：四元数，超复数，自旋与手征性，开方运算，简并、Cherenkov辐射、Dirac方程，微分算符Hamilton四元数的建立不仅为矢量代数和矢量分析奠定了基础，又构建了以实数为系数的不满足乘法交换律的有限维可除代数，从而促进了代数学的发展。此外，由于它的i、j、k可用量子力学中的pauli矩阵表示，通过pauli矩阵，它就与自旋、旋量、Dirac矩阵及空间维数产生了关联。因此有必要

3、对四元数的表示、运算及其数理基础进行基本意义上的解析，故特作如下铨释性的注记：[1][2][3]1.定理1:以实数为系数的四元数有下述九种以上的表示式：-1-http://www.paper.edu.cn1.1.Hamilton原始形式：X=x0+x1i+x2j+x3k…………………………………….(1)其中x0、x1、x2、x3为实数，x0为四元数的数量部分，也称纯量部分，后三项为矢量部分，式中i、j、k满足：222i＝j＝k＝－1，ij＝k，ji＝－k，ki＝j，ik＝－j，jk＝i，kj＝－i…………..(2)1.2一般代数形式：

4、α=α0+α1e1+α2e2+α3e3...........................................................(3.).....其中α0、α1、、α2、α3为实数，且e1、e2、e3满足条件：eµeν=−δµν+εµνλeλ...(µ、ν、λ=1、2、3)............................................................(4)........⎧+（当1µνλ是123的偶置换时）⎪......而εµνλ是.Levi-Civita符号,其值为

5、εµνλ=⎨−（当1µνλ是123的奇置换时）⎪⎩0..（当µνλ中有两个相同时）1.3.Pauli矩阵表示式：α=α0+i（α1σ1+α2σ2+α3σ3）....................................(5)[4]⎛0....1⎞⎛0....-i⎞⎛1....0⎞...其中Pauli矩阵σ1=⎜⎜⎟⎟,...σ2=⎜⎜⎟⎟,..σ3=⎜⎜⎟⎟.................................(6)⎝1.....0⎠⎝i.....0⎠⎝0...-1⎠....根据σµ的定义直接计算，可得σµσν=δ

6、µν+iεµνλσλ..................................(6a)⎧σ2=σ2=σ2=1⎪123.....即⎨...................................................................................(6b)⎪⎩σµσν+σνσµ=2δµνiϕ.(τσ+τσ+τσ)1.4.指数形式:α=αe112233..................................................................

7、(7)32....其中τµ(µ=1、2、3)是满足∑τµ=1的实数;而α为α之“模”：α=αα，i=1α0αµα=α0−i(α1σ1+α2σ2+α3σ3.).角ϕ=arccos,显然τµ=（..µ=1、2、3）α22α−α01.5.三角形式:..α=α[cosϕ+i(τ1σ1+τ2σ2+τ3σ3)sinϕ]........................................(8)rr1.6.矢量形式:.α=α0+α......;......β=β0+βrrrrrrrr.其中α表示矢量α1i+α2j+α3k;...β=β1i+

8、β2j+β3k..即式（1)中的x1i+x2j+x3krrrrrr....而两四元数α、β之乘积αβ=（α0β0−α.β)+α0β+β0α.+α.×β.....................(8a).⎛σ