半直线上随机环境中随机游动的极限性质_胡学平

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1、应用概率统计第二十五卷ChineseJournalofAppliedProbability第六期2009年12月andStatisticsVol.25No.6Dec.2009半直线上随机环境中随机游动的极限性质¤胡学平李会葆徐耸(安庆师范学院数学与计算科学学院,安庆,246133)(华东师范大学金融与统计学院,上海,200241)摘要本文对右半直线上在0点带有反射壁的随机环境中随机游动进行了研究,得到了在环境是平稳遍历条件下的常返准则及在环境是独立同分布条件下的一个强大数定律和中心极限定理.关键词:随机环境,随机游动,常

2、返性,强大数定律,中心极限定理.学科分类号:O211.62.x1.引言随机环境中的随机游动(RWIRE)已成为当今随机过程研究的一个较活跃的问题,一维随机环境中的随机游动首先是由M.V.Kozlov[1]提出的,随后Solomon[2]讨论了在环境为独立同分布下一维紧邻的情形.文[3]研究了在独立同分布环境下半直线上随机游动的常返性和依概率收敛的大数定律.文[4]研究了在环境独立不同分布情形下直线上随机游动的一些性质.本文进一步研究文[3]中的模型,当环境是平稳遍历时得到了一个常返暂留准则,在环境为独立同分布情形下得到了

3、一个强大数定律和中心极限定理,从而推广了文[3]中有关结论.定义1.1设p0=1,f(pn;qn);n¸1g为概率空间(•;F;P)上的一列随机变量,记为!=f(pn;qn);n¸1g,我们称具有状态空间Z+=f0;1;2;¢¢¢g的随机序列fXn;n¸0g为在0点具有反射壁的右半直线上随机环境中的随机游动(RWIRE),如果Xn满足:P(X0=0)=1;8>>>>>:0;其它:其中xk;i

4、;j2Z+,k=1;2;¢¢¢;n¡1,0

5、9月3日收到修改稿.612应用概率统计第二十五卷引理1.1[2]若对于几乎所有的环境,fXn;n¸0g在此环境下某一性质成立,则半直线上的RWIREfXn;n¸0g几乎必然具有此性质.x2.常返性引理2.1[3]对固定的环境!,对任意n¸1,0

6、1Pn引理2.2[5]设Yi;i¸1为实值的平稳序列,Zn=Yi,则依概率1有limZn=1蕴n!1i=1含liminfZn=n>0.n!1定理2.1对于以上模型中定义的随机游动,当环境是平稳遍历且Elog½1存在时,则有:(i)fXn;n¸0g非常返,Elog½1<0;(ii)fXn;n¸0g常返,Elog½1¸0.P1证明:令s=s(!)=½1¢¢¢½n,D=f!2•:s(!)<1g,则D为T-推移不变n=1集,由于环境是平稳遍历的,于是Q(D)=0或1(Q为定义在环境空间中的概率测度).由引理2.1知只需证明Q(D

7、)=1,Elog½1<0即可.若Elog½1<0,则存在c<0使得c=Elog½1<0,由Q的遍历性,存在n0(!),当n>Pnn0(!)时,有(1=n)log½i·c=2<0,从而存在某个C1(!)<1,Q¡a.s.有i=1P1P1½¢¢¢½·C(!)+ekc=2<1;Q¡a.s.:1n1n=1k=n0(!)+1由此可得Q(D)=1.反之,若!2D,由于s<1,有½1¢¢¢½n!0,(n!1),所以Pnlimlog½k=¡1:n!1k=1令Yi=¡log½i,则fYi;i¸1g为平稳序列,由引理2.2可得1PnElog

8、½1=limlog½k<0:n!1nk=1从而(i)得证.同理可证明(ii).¤第六期胡学平李会葆徐耸:半直线上随机环境中随机游动的极限性质613定理2.2在定理2.1的假设下,有:(i)fXn;n¸0g正常返,Elog½1>0;(ii)fXn;n¸0g零常返,Elog½1=0.Pn证明:(i)的充分性:记S=log