taylor series.pdf

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1、第八講：泰勒展開式1000817bee上課摘要1.定理：對一個在(,)arar可以無限次微分的函數f()x，其在xa的泰勒展開式為：fa()fa()23fa()fxfa()()()xa()xa()xa，1!2!3!若且為若餘項R()x的極限為0。n(1n)fc()n1餘項Rx()(xa)，carar(,)。n(1n)!底下我們試圖來證明這一個定理：設R()xfxfa()()。顯然R()xfx()，Ra()0。000R()xRa()利用均值定理，在x與a之間，可以找到一個c，使得Rc()0

2、0，則0xaR()xRcxaRa()()()，因為Ra()0，R()cfc()，所以00000R()xRcxafcxa()()()()。00上面的討論說明f()xfafcxa()()()，這可說是均值定理的一般表現。(位移等於某一瞬時速度乘以時間：f()xfafcxa()()())把上面的概念往下推廣：fa()我們稱Px()fa()(xa)為f()x在xa的一次近似，或者說是一階泰勒展開式，11!事實上就是在xa處的切線。設R()xfxP()()x，顯然RaRa()()0，R()xfx

3、()。11111R()xRaRx()()111由均值定理可知：在x和a間可以找到一個數c，使得Rc()，所xaxafc()2以R()xRcxafcxa()()()()，並得R()xx(a)k，又因為Ra()0，所11112http://web.chsh.chc.edu.tw/bee來自bee美麗之家1fc()2以k0，可得R()xx(a)。112因此fa()fc()2f()xPxRxfa()()()(xa)(xa)。111!2!fa()這一個結論真好，說明當x和a很靠近

4、時，f()x和一次近似Px()fa()(xa)的11!2差距是()xa的等級，當xa很小，這一等級當然很好。利用數學歸納法可得：()nn(1)fa()fa()23fa()fa()nnf()c1f(xf)(a)()xa()xa()xa()xa()xa，1!2!3!nn!(1)!(1n)n1f()c是一個常數，(1n)!顯然會越來越大，()xa這一個等級很好，特別是

5、

6、xa1(1n)fc()n1時，若()xa會很小，那麼，f()x和Px()就非常接近，我們可以用Px()來估nn(1n)!

7、(1n)fc()n1計f()x，稱Px()為n次近似，或n階泰勒展開式，並將Rx()(xa)稱為餘nn(1n)!項，可以用它來控制誤差，這就是計算器求近似值的工具。2.找基本函數的Maclaurinseries(在x0處的泰勒展開式)dxx(1)因為ee，所以dx23xxxex12!3!利用積分來看也很好：x2設eaaxax。則012x2edx()aaxaxdx012aaa123234caxxxx023323aaxaxax。012310a11a22!1因為ae1，所以ca1

8、，aa1，a，a，以此00102322!333!http://web.chsh.chc.edu.tw/bee來自bee美麗之家21類推，a。nn!23dxxxx因為ee，把1x微分確實得到自己。dx2!3!上述這些驗證，對於我們的學習留下深刻的印象。402nc38xxen1如果令Px()1x，則餘項為x。36n2!n!(1n)!3432ec30n1找x100來看看：當n很大時，100會趨近028(1n)!2624嗎？222018c會的，因為e是一個常數，n1100之後，餘項開始1614ce12n1變小

9、，當然，100會趨近0。不過，x離0越10(1n)!86遠，n1要越大，也就是要項數很多時，才有機會讓42我們找到ex的「理想近似值」。1055102x右圖中，紅線為ye的圖，在y軸的左邊，函數圖貼著x軸。粉紅色為23456234567xxxxxxxxxxxhx()1x，藍色為gx()1x，2!3!4!5!6!2!3!4!5!6!7!在x0附近確實描繪得很好，而當

10、

11、x變大時，項數顯然是不夠的。x想想看：要設計程式來估計e的近似值，還要估算它的正確值，確實不太容易。(4)(2)因為(cos)xsinx，(cos)

12、xcosx，(cos)xsinx，(cos)xc