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1、第27卷第6期临沂师范学院学报2005年12月..’.Vol27No6JournalofLinyiTeaehersCollegeDee2005随机过程的拉普拉斯变换及其性质韩宝燕,,(山东工艺美术学院公共教学部济南250014)摘要:运用倒向随机微分方程的初值解给出了对一给定的适应于布朗运动信息流的随机过程的随机,,..LaPlace变换的定义给出并证明其性质最后给出两个例子并指出经典LaPlace变换是本文的特例:;e;关键词随机过程LaPlac变换倒向随机徽分方程.:中圈分类号:063文:1009一6051(2005)06一0011一03211献标识码A文章编号,1990年Par
2、doux和Pengtl3首先给出并证明了一类非线性倒向随机微分方程的适应解的存在.,,Duffi。惟一性从那以后倒向随机微分方程不论是在金融领域还是在数学领域都有广泛的应用,Pen和EPstein[2j发现可以用倒向随机微分方程来描述不确定经济环境下的消费偏好g闭通过倒a.nman一K。P]又将非线性倒向随机微分方程的解向随机微分方程获得了非线性的Fey公式en沙,的存在惟一性推广到无穷区间上本文利用无穷区间上倒向随机微分方程解的存在惟一性的结果a..ceace给出了适应随机过程的LaPl变换并讨论LaPl变换的性质和给出例子1记号和引理“.,x,x,,:。对任意的任R记其欧几里德范
3、数为l}令(口尸尸)是一完备概率空间{W(t)}李是,.own运。定义在此空间上的标准Br动W(t)生成的自然代数流弋八}满足通常条件本文仅讨论.,,’,W(t)是一维的情形高维的情形只是此种情形的平凡推广令俨(0co;R)表示所有的R值的,,·‘,·‘Zd‘p·‘·〔。一。。,R邢。适应的随机过程()且满足}(,}<一如果〔二(,()〕‘(一,《鲁.,vt‘,;“‘0;mert,则我们就说()任M2(0coR)显然砂(coR)是Hilb空间其范数为:二(‘)},一〔可一ex,(触)一。(t)一dt〕+.··.·,·‘,;R”,,如果f()二u()十iv()且u()v()任砂(0co
4、)i为虚数单位则称复随机过程..几0,,f()任树(co口).·C的范数记为}月}产,,,复数月任令()是复数值的确定过程其支撑为有穷区间〔oT」且使,·+,,得脚一)1}}<对一给定的f()任(0co;c)我们考虑下列倒裂g{IRe沁1+呷(t)o.砂:向随机微分方程(简称BSDE)一d力(t)一〔一护(t)+。(t)。(t)+f(t)〕dt一q(t)(t)(l)dW.,·‘,(P()g())任(oco;C2)砂,.1‘,;C):,k+引理令了(.)任砂(0co任C及k任R给定使得2Re(s)>0则倒向随机微.·.,‘,,分程(l)存在惟一解(P()抓)任砂(0co口)证明:见文献
5、【42.3.」引理·.k是,‘,;R),,C令给定的常数f()任砂(0co对(s川任xS满足引理1的条件其中S是具:一一收稿日期20051109:.作者简介韩宝燕,,,(1974一)女山东临沂人山东工艺美术学院讲师临沂师范学院学报第27卷有紧支撑的定义在[。,二C.)的值的阶梯函数构成的空间则下列倒向随机微分方程一dp(t)一[一护(t)+产(z)q(t)+f(t)〕dt一q(t)dw(z)·,.‘,;(P()g())任砂(0o口),:,的解存在且惟一由于P(0)是几可测的故它是一确定的复数值的且依赖于(川任CxS以及·.f)的函数:(我们定义,,、_~·,,,1s尸esl〔月(沼(
6、))一又「f]=p(o)其中R()>一左,.)行乙(2)万产又乙:,··e,:,·定义2(2)中的l[月(爪”称为过程f()的随机LaPlac变换记作F(爪)-.···.,,,礼[月且称F(s爪)为f()的变象f()为原象·‘,,:,·:,:,命题3如果f()任砂(oco)是确定性函数则l〔月(产())=l[f](o)=l[f〕()这,.:aceaceace里l[月()是f的经典的LaPl变换显然上述定义的LaPl变换是经典的LaPl的推广·,··,,·证明因为此时方程(1)的解(P()q()一(万()0)这里万()是下列常微分方程的解.·.=一+f,显然万(o)e‘+2,z:,产,
7、,o)=ls万场任乙(oco)因此〔月(())=z〔月(〔月()由经典Laplaee变换定义显然万(o)一l[月(:)aa.由此可见随机Lplce变换是经典LaPlace变换的推广2Laplaee变换的性质·,,.,s(,())a,,g‘o,;:性质If(沼())=z[月是线性函数即对常数和月以及f有任砂(coC)有‘,,,,,.又,,,[af+庵〕=以[月+尽〔g〕:,,,··,,lo),,g:,l,Z证明由定义2令几仁月一P(几〔〕=P(o)其中P()
