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1、第七章玻尔兹曼统计第一节热力学量的统计表达式第二节理想气体的物态方程第三节麦克斯韦速度分布率第四节能量均分定理第五节理想气体的内能和热容量第六节理想气体的熵第七节固体热容量的爱因斯坦理论第七章玻耳兹曼（Boltzmann）统计玻耳兹曼统计是假设系统由大量全同组成，具有确定的粒子数N，能量E，体积V能级：E1,E2,......E简并度:w1,w2,......wl离子数:a1,a2,......a则在能级上的粒子数为∑al=N，系数α与β由lae−α−βElaE=El=ωl与∑ll确定。l定域系统（由定域粒子组成的系统）与满足经极限条件的玻色（费米）系统（eα>>1,或者对于所a有的
2、l,l,又叫做非简并条件）都遵从玻耳兹<<1ωl曼分布717.1热力学量的统计表达式目的1:由系统的微观量求得系统的配分函数−βElZ1=∑ωlel目的2:由系统的配分函数，求系统的宏观物理Z1量：（1）内能U，（2）总粒子数N，（3）广义力，（Y4）熵，自由能，SF（5）系数。β∂（1）U=−NlnZ1∂β（2）N=e−αZ1N∂(3)Y=−lnZ1β∂y∂(4)S=Nk(lnZ1−β,(lnZ1)S=klnΩM,B定域系统)∂β∂S=Nk(lnZ−βlnZ)−klnN！11∂βΩM,BS=kln(非定域系统)N!1(5)β=kT(6),(F=NkTlnZ定域系统)F=−NkTln
3、Z1+kTlnN！1(非定域系统)证明如下Ee−α−βEl−α−βEl∂（1）U=∑Elal=∑lωl=e∑Elωle=−NlnZ1lll∂β（2）−α−βEl−αN=∑al=e∑ωe=eZ1ll（3）N∂Y=−lnZ1β∂yΔω经典统计理论中的简并度可以表达为l，rh0所以经典统计理论中的配分函数可以写为Δω−βElZ=∑el如果Δω足够小，则配分函数1∑hrll0可以写成积分。dqdq...dqdpdp...dpZ=…e−βE(q,p)12r12r1∫∫rh0举例:∂El试根据公式p=−∑al证明光子气体的压力l∂V1U为p=.3V22π2221/2AA因为E=ηω=ηck=ηc
4、(n+n+n)==,所lxyz1/3LLV∂El1El∂El1=U以=−,p=−∑al=,∑Elal∂V3Vl∂V3Vl3V∂El2.试根据公式p=−∑al,证明对于非相对论粒l∂V2U子p=,因为3V1212πη2222−2/3ε=p=()(n+n+n)=AVxyz2m2mL2U∂E所以由公式p=−∑al可以得到p=l3Vl∂V第七章7.2理想气体的物态方程目的1:作为玻耳兹曼统计理想气体最简单的应用，考虑单原分子理想气体，先求出配分函数Z，然后求热力学宏观量1压强P,即物态方程。1．应用经典统计理论：因为E=1(p2，+p2+p2)xyz2mdxdydzdpdpdp分子可能的微观
5、状态数(简并度)为：xyz所3h以1β222Z1=∫...∫−2m(px+py+pz)dxdydzdpxdpydpz3eh+∞β2V−px32mπ3/2Z=(e2mdp)=V()13∫x2hhβ−∞由公式可得N∂NkTp=lnZ=1β∂VV结论对双原子分子与多原子分子理想气体都是适用的目的2：经典极限条件的()(eα>>1)进一步讨论与其等Z价形式,由于eα=1，所以，经典极限条件可以写成NV2πmkT3/23N(2)>>1其等价形式为nλ<<1，n=是分NhVh子数密度，λ=是分子的德布罗意波长，p=2mE，可以p理解为分子热运动的平均能量E=πkT，因为经典极限条件又可以写成V>
6、>h3(1)3/2。N2πmkT可见，（1）n越小（气体越稀薄）。（2）温度越高。（3）分子质量越大。经典极限条件越得到满足。举例:(1)当选择不同的能量零点时，粒子的第l个能级可以取εl**或者，以表示二者差Δ=εε-，试εlll*−βΔ证明相应的配分函数存在以下的关Z=Ze系*，并且讨论由配分函数ZZ和所得热力学函数有何差异解:由配分函数的定义，及由配分函数求热力学量的关系可以求得所有的问题。U*=U+NΔ**P=PS=S，，S=−Nk∑pslnpspsss(2)．试证明对于遵从Boltzmann统计分布的系统，熵函数可以表示为，是粒子处在量子态的概率证明:因为对于Boltzma
7、n分ae−α=βεl=ωll布，所1alN−−βεlβεlp=epZ=eslns=−ln−βεsωZZl以，∂lnZ，，E=∑εsps=−s∂β∂S=Nk(lnZ−βlnZ)=Nk(lnZ+βE)∂βS=Nk(lnZ+ββεs)ps=Nk∑pslnpss第七章7.3麦克斯韦(Maxwell)速度分布率目的：应用经典玻耳兹曼统计理论推倒出麦克斯韦速度分布率与速率分布率,并且求得麦克斯韦速率分布的最概然速率vm,平均速v率vs,方均根速率第七章速度分布率表达式
