数学物理方程第二章 分离变量new

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1、第二章分离变量法在前一章里，我们将物理学，力学，工学技术等方面的许多实际问题应用数学的方法归结为一系列定解问题．如何求解这些问题成为本章急需解决的任务，分离变量法是求解数学物理方程常用的一种方法．在微积分学中，计算多元函数的偏导数，重积分时，我们从一元函数中响应问题的解法出发，启发和帮助我们解决多元函数的问题．与此类似，求解偏微分方程的定解问题，也要设法利用常微分方程已有的结论．分离变量法的基本思想是，把数学物理方程中未知的多员函数分解成若干个一元函数的乘积，从而把求解偏微分方程的问题转化为解若干个常微分方程的问题．下面，我们通过实例来介绍分离变量法的步骤与实质．

2、２.１有界弦的自由振动研究一根长l，两端(x=0,x=l)固定的弦作微小振动的现象．给定初始位移和初始速度后，在无外力作用的情况下，求弦上任意处的位移，即求解下列定解问题22⎧∂u2∂u⎪2=a2(00)(2.1.1)∂t∂x⎪⎨u

3、=0,u

4、=0,(2.1.2)x=0x=l⎪∂u⎪u

5、=ϕ(x),

6、=Ψ(x)(2.1.3)t=0t=0⎩∂t这个定解问题的特点是：泛定方程是齐次的，边界条件也是齐次的．求解这样的问题，可以运用叠加原理．由物理学可知，乐器发出的声音可以分解成各种不同频率的单音，每个单音的波形都是正弦曲线，其振幅依赖于时间t，也就是说每个

7、单音可以表示成u(x,t)=A(t)sinωx的形式．这种形式的特点是：二元函数u(x,t)是只含有变量x与只含有变量t的两个一元函数的乘积，即两个变量被分离了．弦的振动也是波，它应该具有上述的特点，因此，我们不妨设泛定方程（２.１.１）的解为u(x,t)=X(x)T(t)（2.1.４）由于定解问题是适定的，因此方程的解存在并且唯一，若通过这种假设求出问题的解，则此定解问题就解决了；若无法求出X(x),T(t)的表达式，则该假设不合适，只能另想办法．将式（2.1.４）代入定解问题式（２.１.１）～式（２.１.３）得''2''⎧T(t)X(x)=aX(x)T(t)(

8、2.1.5)⎪⎨X(0)T(t)=0,X(l)T(t)=0(2.1.6)⎪'X(x)T(0)=ϕ(x),X(x)T(0)=ψ(x)(2.1.7)⎩若u(x,t)≡0，则弦静止不动，失去了研究的意义．因此我们要找方程的非平凡解，即u(x,t)≠0，因此有X(x)≠0,T(t)≠0．由式（２.１.５）和式（２.１.６）有""⎧X(x)T(t)⎪=(2.1.8)⎨X(x)a2T(t)⎪⎩X(0)=X(l)=0(2.1.9)这样，变量x与变量t被分离了，这种方法称为分离变量的方法．因为式（２.１.４）是方程的解，所以当00时，式（２.１.８）永远成立，""T

9、(t)X(x)当x=x而t任意变化时，可知=常熟．同理当t=t而x任意变化时，的020aT(t)X(x)植也为常数．这样，我们记该常数为−λ，则有""X(x)T(t)==−λ2X(x)aT(t)即得"T(t)+λaT(t)=0（１.１.１０）2''⎧X(x)+λX(x)=0(2.1.11)⎨⎩X(0)=X(l)=0(2.1.12)下面，我们先设法求出零的X(x)，但求解X(x)不是一个简单的问题，因为式（２.１.１１）中有一个待定常数λ，所以我们的任务即要确定λ取何值，式（２.１.１１）有满足式（２.１.１２）的非零解，同时又要求出这个非零解．这样的问题通常叫做施

10、图姆－刘维尔（Sturm-Liouville）问题（或固有值问题）．λ的取值称为该问题的固有值，响应的非零解X(x)称为该问题的固有函数．因为λ是未知常数，所以我们先对λ的取值加以适当的限制，逐步缩小所取值范围，最终求出结果．于是我们分三种情况进行探讨．⑴设λ<0，此时，方程''X(x)+λX(x)=0的通解为−λx−−λxX(x)=Ae+Be由边界条件式（２.１.１２）得⎧A+B=0⎨−λl−−λl⎩Ae+Be=0系数行列式11≠0−λ−−λee由线性代数中的结论，方程只有零解，即A=B=0所以X(x)=0不符合要求，λ不能小于零．⑵设λ=0，则方程''X(x)

11、=0的通解为X(x)=Ax+B由边界条件式（２.１.１２）得⎧A=0⎨⎩Al+B=0可得A=B=0因此X(x)=0,λ≠0．2⑶设λ>0，不妨令λ=β,β>0，则方程''2X(x)+βX(x)=0由边界条件式（２.１.１２）得⎧A=0⎨⎩Bsinβl=0由X(x)≠0，得B≠0，即sinβl=0所以nπβ=（n=1,2,L）nl且方程的通解为nπX(x)=Bsinxnnl这样，我们称nπλ=()n=(1,2,L)nl为固有值问题（式（２.１.１１）～式（２.１.１２））的一系列固有值，相应的非零解nπsinx为对应的固有函数．l将固有值λ代入式（２.１.１０），有

12、n222'