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1、1.若n是一个三位正整数,且n的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n为“三位递增数”(如137,359,567等).在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数,且只能抽取一次.得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除,参加者得0分;若能被5整除,但不能被10整除,得-1分;若能被10整除,得1分.(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”;(2)若甲参加活动,求甲得分X的分布列和数学期望E(X).解 (1)个位数是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245
2、,345.(2)由题意知,全部“三位递增数”的个数为C=84,随机变量X的取值为:0,-1,1,因此P(X=0)==,P(X=-1)==,P(X=1)=1--=.所以X的分布列为X0-11P则E(X)=0×+(-1)×+1×=.2.某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球.在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;(2)若某顾客有3次抽奖机会,记
3、该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望.解 (1)记事件A1={从甲箱中摸出的1个球是红球},A2={从乙箱中摸出的1个球是红球},B1={顾客抽奖1次获一等奖},B2={顾客抽奖1次获二等奖},C={顾客抽奖1次能获奖}.由题意,A1与A2相互独立,A1与A2互斥,B1与B2互斥,且B1=A1A2,B2=A1+A2,C=B1+B2.因为P(A1)==,P(A2)==,所以P(B1)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=×=,P(B2)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=P(A1)P()+P()P(A2)
4、=P(A1)(1-P(A2))+(1-P(A1))P(A2)=×+×=.故所求概率为P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=+=.(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验,由(1)知,顾客抽奖1次获一等奖的概率为,所以X~B.于是P(X=0)=C03=,P(X=1)=C12=.P(X=2)=C21=.P(X=3)=C30=.故X的分布列为X0123PX的数学期望为E(X)=3×=.3.某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定.小王到该银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但可以确认该银行卡的正
5、确密码是他常用的6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定.(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率;(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X,求X的分布列和数学期望.解 (1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A,则P(A)=××=.(2)依题意得,X所有可能的取值是1,2,3.又P(X=1)=,P(X=2)=×=,P(X=3)=××1=.所以X的分布列为X123P所以E(X)=1×+2×+3×=.4.端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中
6、豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.(1)求三种粽子各取到1个的概率;(2)设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与数学期望.解 (1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”,则由古典概型的概率计算公式有P(A)==.(2)X的所有可能值为0,1,2,且P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==.综上可知,X的分布列为X012P故E(X)=0×+1×+2×=(个).5.某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的
7、七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.解 (1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A,则P(A)==.所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为.(2)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.P(X=k)=(k=0,1,2,3).所以,随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.6.某企业有甲、乙两
8、个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;(2)若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万