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2019届高三文科数学上学期期末试卷有解析一、选择题(本大题共8小题,共40.0分)1.设全集 , , ,则 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据集合的交集、并集和补集的运算,即可求解.【详解】由题意,全集 , , ,则 ,则 ,故选A.【点睛】本题主要考查了集合的混合运算问题,其中解答中熟记集合的交集、并集和补集的运算是解答问题的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.2.设变量x,y满足约束条件 ,则目标函数 的最小值为A. 1 B. 2 C. 7 D. 8【答案】A【解析】【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得答案.【详解】由变量x,y满足约束条件 作出可行域如图, 联立 ,解得 ,化目标函数 为 ,由图可知,当直线 过点A时,直线在y轴上的截距最小,z有最小值为1.故选:A.【点睛】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.3.阅读如图的程序框图,运行相应的程序,则输出 的值为( ) A. 8 B. 4 C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意,执行如图所示的程序框图,逐次计算,即可求得输出的结果,得到答案.【详解】由题意,执行如图所示的程序框图,第1次循环,不满足条件 ;第2次循环,不满足条件 ;第3次循环,不满足条件 ;第4次循环,满足条件 ,此时输出 ,故选B.【点睛】识别算法框图和完善算法框图是近年高考的重点和热点.解决这类问题:首先,要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构;第二,要识别运行算法框图,理解框图解决的问题;第三,按照框图的要求一步一步进行循环,直到跳出循环体输出结果,完成解答.近年框图问题考查很活,常把框图的考查与函数和数列等知识考查相结合.4.已知 ,则 的大小关系为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解 .【详解】解: , , , , ,的大小关系为: .故选: .【点睛】本题考查利用指数函数、对数函数的单调性等基础知识比较三个数的大小,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题 .5.设 ,则“ ”是“ ”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判断.【详解】由 ,可知 . “ ”是“ ”的必要不充分条件.故选:B.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用,利用三角函数的性质是解决本题的关键,比较基础.6.在 中, 为 的中点, ,则 ( )A. B. C. 3 D. 【答案】A【解析】【分析】根据平面向量的线性表示与数量积的定义,计算即可.【详解】解:如图所示, 中, 是 的中点, , , .故选: .【点睛】本题考查了平面向量的线性表示与数量积的运算问题,是基础题.7.函数 其中 的图象如图所示,为了得到 的图象,只需把 的图象上所有点 A. 向左平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度C. 向左平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度【答案】D【解析】【分析】首先根据函数图象求出函数的周期,进一步利用函数经过的点的坐标求出函数的解析式,进一步利用函数的图象变换求出结果.【详解】根据函数的图象 ,所以: , ,当 时,函数 ,即: .解得: ,所以:要得到 的图象只需将函数 向右平移 个单位,即 .故选:D.【点睛】已知函数 的图象求解析式(1) .(2)由函数的周期 求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求 .8.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,过点 且垂直于 轴的直线与该双曲线的左支交于 两点, 分别交 轴于 两点,若 的周长为12,则当 取得最大值时,该双曲线的渐近线方程为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意, 的周长为24,利用双曲线的定义,可得 ,进而转化,利用导数的方法,即可得出结论.【详解】解:由题意, 的周长为24, , , , , , , , , , , , 时, 取得最大值,此时 ,即 渐近线方程为 故选:B.【点睛】本题考查双曲线的定义,考查导数知识的运用,考查学生分析解决问题的能力,知识综合性强.二、填空题(本大题共6小题,共30.0分)9.为虚数单位,计算 ______.【答案】【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值.【详解】 ,故答案为: .【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题.10.已知函数 , 是 的导函数,则 __________.【答案】1【解析】【分析】先求 ,再代入 得解.【详解】解: , (1) ,故答案为:1.【点睛】本题考查 型导函数求法,属于基础题.11.已知长方体的长、宽、高分别为2,1,2,则该长方体外接球的表面积为__________.【答案】【解析】【分析】由题意,长方体的长宽高分别为 ,所以其对角线长为 ,求得球的半径为 ,利用球的表面积公式,即可求解.【详解】由题意,长方体的长宽高分别为 ,所以其对角线长为 ,设长方体的外接球的半径为 ,则 ,即 ,所以球的表面积为 .【点睛】本题主要考查了球的表面积和球的组合体问题,其中解答中根据长方体的对角线长等于其外接球的直径,求得球的半径是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.12.已知直线与圆 相交于 两点,且线段 的中点P坐标为 ,则直线的方程为__________.【答案】【解析】【分析】把圆的标准化为标准方程,找出圆心 的坐标,由垂径定理得到圆心 与弦 的中点 连线与弦垂直,根据圆心 的坐标及 的坐标求出半径 所在直线的斜率,根据两直线垂直时斜率的乘积为 ,求出直线 的斜率,再根据 的坐标及求出的斜率写出直线 的方程即可.【详解】解:把圆的方程化为标准方程得: ,可得圆心 , 直线 的斜率为1, 直线 的斜率为 ,则直线 的方程为: ,即 .故答案为: .【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:垂径定理,两直线垂直时斜率满足的关系,直线斜率的求法,以及直线方程求法,灵活运用垂径定理是解本题的关键.13.已知 ,且 ,若 恒成立,则实数 的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】根据已知条件,转化为 ,然后得到 ,再结合基本不等式确定其最值即可.【详解】解: , , 恒成立,且 , = 因为 恒成立, .故答案为: .【点睛】本题重点考查了基本不等式及其灵活运用,注意基本不等式的适应关键:一正、二定(定值)、三相等(即验证等号成立的条件),注意给条件求最值问题,一定要充分利用所给的条件,作出适当的变形,然后巧妙的利用基本不等式进行处理,属于基础题.14.已知函数 若关于 的方程 恰有两个互异的实数解,则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】利用分段函数,求出 的零点,然后在求解 时的零点,即可得到答案.【详解】由题意,函数 ,当 时,方程 ,可得 ,解得 ,函数由一个零点,当 时,函数只有一个零点,即 在 上只有一个解,因为函数 开口向上,对称的方程为 ,所以函数在 为单调递减函数,所以 ,即 ,解得 ,即实数的取值范围是 .【点睛】本题主要考查了分段函数的零点的应用,以及二次函数的图象与性质的应用,其中解答中把函数的零点问题转化为二次函数问题,借助二次函数的图象与性质求解是解答的关键,着重考查了转化思想,以及推理与运算能力.三、解答题(本大题共6小题,共80.0分)15.为维护交通秩序,防范电动自行车被盗,天津市公安局决定,开展二轮电动自行车免费登记、上牌照工作.电动自行车牌照分免费和收费(安装防盗装置)两大类,群众可以 自愿选择安装.已知甲、乙、丙三个不同类型小区的人数分别为15000,15000,20000.交管部门为了解社区居民意愿,现采用分层抽样的方法从中抽取10人进行电话访谈.(Ⅰ)应从甲小区和丙小区的居民中分别抽取多少人?(Ⅱ)设从甲小区抽取的居民为 ,丙小区抽取的居民为 .现从甲小区和丙小区已抽取的居民中随机抽取2人接受问卷调查.(ⅰ)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;(ⅱ)设 为事件“抽取的2人来自不同的小区”,求事件 发生的概率.【答案】(Ⅰ)甲小区抽取3人、丙小区抽取4人.(Ⅱ)(i)见解析(ii) . 【解析】【分析】(Ⅰ)利用分层抽样的性质能求出应从甲、乙、丙三个不同类型小区中分别抽取得3人,3人,4人.(Ⅱ)(ⅰ)从甲小区抽取的3位居民为 ,丙小区抽取的4人分别为 利用列举法能求出所有可能结果.(ⅱ)由(ⅰ)可得基本事件总个数, 为事件“抽取的2人来自不同的小区”利用列举法能求出事件 发生的概率.【详解】(Ⅰ)因为三个小区共有50000名居民,所以运用分层抽样抽取甲、丙小区的人数分别为:甲小区: (人);丙小区: (人).即甲小区抽取3人、丙小区抽取4人.(Ⅱ)(i)设甲小区抽取的3人分别为 ,丙小区抽取的4人分别为 ,则从7名居民中抽2名居民共有21种可能情况: , (ii)显然,事件 包含的基本事件有: 共12种,所以 . 故抽取的2人来自不同的小区的概率为 .【点睛】本题考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基础知识,考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.16.在 中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c已知 .1求角C的大小2若 , 的面积为 ,求 的周长.【答案】(Ⅰ) .(Ⅱ) . 【解析】【分析】(Ⅰ)利用正弦定理化简已知等式可得 值,结合范围 ,即可得解 的值.(Ⅱ)利用正弦定理及面积公式可得 ,再利用余弦定理化简可得 值,联立得 从而解得 周长.【详解】(Ⅰ)由正弦定理 ,得 ,在 中,因为 ,所以故 , 又因为0<C< ,所以 .(Ⅱ)由已知,得 .又 ,所以 . 由已知及余弦定理,得 , 所以 ,从而 .即 又 ,所以 的周长为 .【点睛】本题主要考查了正弦定理,余弦定理的应用,考查了转化思想和数形结合思想,属于基础题.17.如图,四棱锥 中,底面四边形 为菱形, , 为等边三角形. (Ⅰ)求证: ;(Ⅱ)若 ,求直线 与平面 所成的角.【答案】(Ⅰ)见解析 (Ⅱ) . 【解析】【分析】(Ⅰ)取 中点E,连结 , ,由已知可得 , ,又 ,即可证 平面 ,从而可得 .(Ⅱ)先证明 ,可得 平面 ,由线面角定义即可知 即为所求.【详解】(Ⅰ)因为四边形 为菱形,且 所以 为等边三角形.取线段 的中点 ,连接 , 则 . 又因为 为等边三角形,所以 .因为 平面 , 平面 ,且 ,所以直线 平面 , 又因为 ,所以 .(Ⅱ)因为 为等边三角形,且其边长为 ,所以 ,又 ,所以 ,所以 . 因为 ,所以 面 , 所以 为直线 与平面 所成的角. 在 中, ,所以故直线 和平面 所成的角为 .【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的性质及线面角求法,属于基础题 .18.已知数列 是等比数列,数列 是等差数列,且 , , .(1)求 和 的通项公式;(2)设 ,求数列 的前 项和 .【答案】(1) ;(2)【解析】【分析】(1)设等比数列 的公比为 ,等差数列 的公差为 ,列出方程组,求得 的值,即可得到数列的通项公式;(2)由(1)得 , 利用乘公比错位相减法,即可求解数列的和.【详解】(1)设等比数列 的公比为 ,等差数列 的公差为 ,依题意有 ,即 ,解得 或 (舍)∴ ,∴数列 的通项公式为 ,数列 的通项公式为(2)由(1)得 ,∴ ?①∴ = ,②①-②得 ∴【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”,此类题目是数列问题中的常见题型,对考生计算能力要求较高,解答中确定通项公式是基础,准确计算求和是关键,易错点是在“错位”之后求和时,弄错等比数列的项数,能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.19.已知函数 ,其中 .(Ⅰ)讨论 的单调性;(Ⅱ)当 时,证明: ;(Ⅲ)求证:对任意正整数 ,都有 (其中 为自然对数的底数).【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析(Ⅲ)见解析【解析】【分析】(Ⅰ)先求 ,再对 进行讨论即可.(Ⅱ)由题知即证 ,构造新函数设 ,利用导数 只需 即得证.(Ⅲ)由(Ⅱ)知 ,累加作和即得证.【详解】(Ⅰ)易得,函数 , ①当 时, ,所以 在 上单调递增 ②当 时,令 ,解得 .当 时, ,所以 ,所以 在 上单调递减; 当 时, ,所以 ,所以 在 上单调递增. 综上,当 时,函数 在 上单调递增;当 时,函数 在 上单调递减,在 上单调递增.(Ⅱ)当 时, .要证明 ,即证 ,即 . 即 . 设 则 令 得, .当 时, ,当 时, .所以 为极大值点,也为最大值点 所以 .即 .故 . (Ⅲ)由(Ⅱ)知, .令 , 则 , 所以 ,即所以 .【点睛】本题考查函数的单调性,考查分类讨论的数学思想及不等式的证明,考查数学分析法的运用,综合性强,属于中档题.20.已知椭圆 的焦距为8,其短轴的两个端点与长轴的个端点构成正三角形.(1)求 的方程;(2)设 为 的左焦点, 为直线 上任意一点,过点 作 的垂线交 于两点 .(ⅰ)证明: 平分线段 (其中 为坐标原点);(ⅱ)当 取最小值时,求点 的坐标.【答案】(1) ;(2)见解析【解析】【分析】(1)由已知,根据椭圆的焦距为8,其短轴的两个端点与长轴的个端点构成正三角形,求得 的值,即可求得椭圆的方程;(2)(ⅰ)设点 的坐标为 ,验证当 时, 平分 显然成立;当 由直线 的方程和椭圆的方程联立方程组,求解 中点 的坐标,即可得到结论;(ⅱ)由(ⅰ)可知,求得 和 ,得到 ,利用基本不等式,即可求解.【详解】(1)由已知,得 . 因为 ,易解得 . 所以,所求椭圆 的标准方程为 (2) 设点 的坐标为当 时, 与 轴垂直 为 的中点 平分 显然成立当 由已知可得: 则直线 的方程为: 设 消去 得: , 中点 的坐标为 又 在直线 上.综上 平分线段 当 时, 则 当 时,由 可知 (当且仅当 ,即 时等号成立),∴点 的坐标为【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目,通常利用 的关系,确定椭圆,通过联立直线方程与椭圆方程的方程组,应用一元二次方程根与系数的关系,得到“目标函数”的解析式,此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足,导致错解,本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.
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