资源描述：
《西北工业大学《概率论与数理统计》4-2 中心极限定理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二节中心极限定理第二节中心极限定理一、问题的提出回回二、中心极限定理停停下下一、问题的提出一、问题的提出由上一节大数定律,我们得知满足一定条件的随机变量序列的算数平均值依概率收敛,但我们无法得知其收敛的速度,本节的中心极限定理可以解决这个问题.在实际中,人们发现n个相互独立同分布的随机变量之和的分布近似于正态分布,并且n越大,近似程度越好.二、中心极限定理二、中心极限定理定理4.6林德贝格-列维中心极限定理设随机变量X,X,…,X相互独立,服从同一分布,12n且具有数学期望与方差E(X)=µ,D(X)=σ2≠0(i=1,2,…,n)ii则随机变量n∑Xi−nµY∗=
2、i=1nnσ的分布函数F(x)对于任意x满足n2tx1−limFn()x=limP{}Yn∗≤x=∫e2dtn→∞n→∞−∞2π注1°∗当n→∞时,随机变量Yn渐近服从标准()∗()正态分布N0,1,记为Yn~AN0,1.n越大,近似程度越好.n22°Yn=∑Xi~AN(nµ,nσ)i=11n⎛2⎞⎜σ⎟X=∑Xi~AN⎜µ,⎟ni=1⎝n⎠3°定理4.6表明n个相互独立同分布的随机变量的和近似服从正态分布.例例11一加法器同时收到20个噪声电压Vk(k=1,2,…,20).设它们是相互独立的随机变量,20且都在区间()0，10上服从均匀分布,记V=∑Vk,k=1求P
3、{}V>105的近似值.解由于V∼U(0,10),易知k100E()Vk=5,D()Vk=()k=1,2,",2012由林德贝格-列维中心极限定理知20∑Vk−20×5∗k=1V−100Yn==近似服从标准正态20×1005×10分布N(0,1),于是123⎧⎫⎪V−100105−100⎪P()V>105=P⎨>⎬55⎪×10×10⎪⎩33⎭⎧⎫⎪V−10015⎪=1−P⎨≤⎬≈1−Φ(0.387)=0.348510⎪×10⎪⎩3⎭定理定理4.74.7李雅普诺夫李雅普诺夫(Liapunov)(Liapunov)定理定理设随机变量X,X,…,X相互独立,它们具有数学12
4、n期望与方差()()2()EXi=µi,DXi=σii=1,2,",nn22记Bn=∑σi,若存在正数δ,使得当n→∞时i=1n1{}2+δ2+δ∑EXi−µi→0Bni=1则随机变量nn∑Xi−∑µiY∗=i=1i=1nBn的分布函数F(x)对于任意x满足n2tx1−limFn()x=limP{}Yn∗≤x=∫e2dtn→∞n→∞−∞2π注1°定理4.7是独立不同分布情形的中心极限定理,该定理表明:当n充分大时,有∗()Yn~AN0,1而n⎛nn⎞X~AN⎜,2⎟∑i⎜∑µi∑σi⎟i=1⎝i=1i=1⎠2°由定理4.6及定理4.7可以看出,正态随机变量的普遍性及其
5、在概率论中所占有的重要地位.例例22一份考卷由99个题目组成,并按由易到难顺序排列.某学生答对1题的概率是0.99;答对第2题的i概率是0.98;一般地,他答对第i题的概率是1−100(i=1,2,…,99),假如该学生回答各问题是相互独立的,并且要正确回答其中60个问题以上(包括60)才算通过考试.试计算该学生通过考试的概率是多少?解设⎧1,学生答对第i题Xi=⎨()i=1,2,",99⎩0,学生答错第i题于是X是两点分布:iP{Xi=1}=pi,P{Xi=0}=1−pi为了使其成为随机变量序列,我们规定从X开始1都与X同分布,且相互独立,于是99nn2()()()
6、Bn=∑DXi=∑Pi1−pi→∞n→∞i=1i=1另一方面,因为⎛3⎞33E⎜Xi−pi⎟=pi()()1−pi+pi1−pi⎝⎠=p()1−p[p2+()1−p2]≤p(1−p)<∞iiiiii于是n1⎛3⎞13∑E⎜Xi−pi⎟≤1→0Bni=1⎝⎠⎡n⎤2⎢∑pi()1−pi⎥(n→∞)⎣i=1⎦即独立随机变量序列满足李雅普诺夫定理的条件.nn∑Xi−∑E()Xi因此随机变量Y∗=i=1i=1n⎛n⎞D⎜⎜∑Xi⎟⎟⎝i=1⎠近似服从标准正态分布N(0,1).计算得9999∑()⎛i⎞199×100EXi=∑⎜1−⎟=99−×=49.5i=1i=1⎝100⎠1
7、00299992∑()⎛i⎞⎛i⎞B99=DXi=∑⎜1−⎟⎜⎟⎝100⎠⎝100⎠i=1i=19912=49.5−∑i2100i=1199×100×199=49.5−×=16.66510026而该学生通过考试的概率应为⎧99⎫99⎪∑Xi−49.5⎪⎛⎜⎞⎟⎪i=160−49.5⎪P⎜∑Xi≥60⎟=P⎨≥⎬16.66516.665⎝i=1⎠⎪⎪⎪⎪⎩⎭=1−Φ(2.5735)=0.0050此学生通过考试的可能性很小,大约只有千分之五可能性.定理定理4.84.8棣莫佛棣莫佛--拉普拉斯定理拉普拉斯定理设随机变量Y服从二项分布B(n,p),则其标准化
