文科高三数学第12讲：三角函数1（教师版）

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1、第彩徘三角角变换大脑体操）（不用添加内容，任课老师根据学牛情况自行添加）作业完成情况）（不用添加内容，也不做修改）知识梳理）1、两角和与差的三角函数sin(a±0)=sinacos0土cosasin0；cos(a±0)=cosacos0干sinasin0；tan(a±0)=皂竺如4。1+tanatanp2、二倍角公式sin2仪=2sinacosa；cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1—2sin2a；tan2a=2tana1-tan2a3.半角公式asinx+hcosx=a24-/?2-sin(x+^),其中sin°=by

2、ja2+b2，COS0=a,1+cosacos—=±J2V2zasinaI-cosax(tan一==)21+cosqsina4、三角函数式的化简常用方法：①直接应用公式进行降次、消项：②切割化弦，异名化同名，异角化同角;③三角公式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少;③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。（1）降幕公式.1・r?1-cos2a21+cos2asin^cos^z=—sin2a；sina-；cosa-2222sin26Z=1-cos2a2cos2a=1+cos2

3、a(2)辅助角公式积化和差公式:sinacos#=丄[sin(a+/?)+sin(

4、所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；(2)给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如Q=(Q+0丿—0,2a=(a+0丿+(G—0丿等，把所求角用含已知角的式子表示，求解吋要注意角的范围的讨论；(3)给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范圉及函数的单调性求得角。6、三角恒等式的证明(1)三角恒等式的证明思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；(2)三

5、角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。<0教学重•难点)1、两角和与差的三角函数公式2、简单的三角恒等变换3、三角恒等变换的综合问题闸入(不用添加内容，任课老师根据学生情况自行添加)【例1】求证sin(o+0)sin(6r-0)•22nsmpcosptan20tana【答案】同解析【解析】左边=sincos0+cosasiny5)(sinacos[3-cosasin0)•22oSin6KCOSpsin26rcos2/?-cos2crsin20•2ocsirracos~pcos2<

6、7sin2B1tan2B=Isin2acos?ptan2a二右边・•・原式成立.1+m【例2]己知：sin0=加•sin(2a+0),求证：tan(a+0)=tana.【答案】同解析【解析】由sin〃=刃sin(2a+0)=>sin[(a+0)—a]=msin[(a+0)+a]=>sin(ci+0)cosa—cos(a+〃)sina=/z?[sin(a+0)cosa+cos(ci+0)sina]n(l—刃)•sin(a+0)cosa=(l+〃/)・cos(a+0)sina/i小l+加=>tan(a+0)=tana.【例3】求tan70°+t

7、an50°-V3tan50°tan70°的值.【答案】-a/3【解析】原式=tan(70°+50°)(l-tan70°tan50°)-V3tan50°tan70°=—V3(1—tan70°tan50°)—VJtan50°tan70°=—a/3+V3ta.n70Dtan50°—V3tan50°tan70°=—a/3/•原式的值为一V3•13【例4】若A、B、C是AABC的内角，cosB=-,sinC=-,求cosA的值.25【答案】3^3-4【解析】VcosB=l,又sinC=右,cosC=±—543若cosC=—y,则角C是钝角，角B为锐角

8、，兀一c为锐角，而sin—0=-,sinB=,于是sin（兀一C）〈sinB,2B>n-C,B+C>n,矛盾,cosCH——5「4cosC故:cosA=—cos(B+C)=—(c