初三数学培优资料1

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1、初三数学培优资料第一讲：一元二次方程的根一、内容提要1.一元二次方程ax2+bx4-c=0(a^0)的实数根，是由它的系数a,b,c的值确定的.求根公式是：-型.(b2-4ac^0)2a2•根的判别式①实系数方程ax2+bx4-c=0(a^0)有实数根的充分必要条件是：b2-4ac^0.②有理系数方程ax2+bx+c=0(a#0)有有理数根的判定是：b2-4ac是完全平方式O方程有有理数根.③整系数方程x2+px+q=0有两个整数根Op2-4q是整数的平方数.3.设X

2、,X2是ax2+bx+c=O的两个

3、实数根，那么①axj24-bXj+c=0(aHO,b2—4ac^0),ax2?+bx2+c=O(aHO,b2—4ac^0)；c—b+y]b2-4ac—b—^lb2-4ac/亠12、②Xi=,X2=(aHO,b2—4ac^O)；2a2a③韦达定理：X]+X2=——,aXiX2=—(aHO,b2—4ac^0).a4.方程整数根的其他条件整系数方程ax2+bx+c=O(a#0)有一个整数根x】的必要条件是:X】是C的因数.特殊的例子有：C=0<=>x)=0,a+b+c=0oX]=l,a—b+c=O<=>X

4、=

5、—1・二、例题例1.已知：a,b,c是实数，且a=b+c+l.求证：两个方程x2+x+b=0与x2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.例2.己知首项系数不相等的两个方程：(a-1)x2-(a2+2)x+(a2+2a)=0和(b-l)x2-(b2+2)x+(b2+2b)=0中a,b为正整数)有一个公共根.求a,b的值.例3.已知：m,n是不相等的实数，方程x2+mx+n=0的两根差与方程y2+ny+m=0的两根差相等.求：m+n的值.例4.若a,b,c都是奇数，则二次方程ax2+bx+c

6、=0(a^0)没有有理数根.例5.求证：对于任意一个矩形A,总存在一个矩形B,使得矩形B与矩形A的周长比和面积比都等于k(k$l).例6.k取什么整数值时，下列方程有两个整数解？①(k2-l)x2-6(3k-l)x+72=0；②kx2+(k2-2)x-(k+2)=0.三、练习1.写出下列方程的整数解：①5x2—V3x=0的一个整数根是.②3x2+(V2—3)x—的一个整数根是.③x2+(75+1)x4-75=0的一个整数根是•2.方程(1-m)x2-x-l=0有两个不相等的实数根，那么整数ni的最大值是

7、.3.已知方程X2—(2m—l)x—4m+2=0的两个实数根的平方和等于5,则m=.4.若xHy，且满足等式x2+2x—5=0和y2+2y—5=0.那么丄—=.(提示：x,y是方程z2+5z—兀y5=0的两个根.)5.如果方程x2+px+q=0的一个实数根是另一个实数根的2倍，那么p,q应满足的关系是：6.若方程ax2+bx+c=0+•a>0,b>0,c<0.那么两实数根的符号必是.7.如果方程mx2—2(m+2)x+m+5=0没有实数根，那么方程(m—5)x2—2mx+m=0实数根的个数是().(A)

8、2(B)1(C)0(D)不能确定&当a,b为何值时，方程x2+2(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0有实数根？9.两个方程x2+kx—1=0和x—k=0有一个相同的实数根，则这个根是()(A)2(B)-2(C)1(D)-110.已知：方程x2+ax+b=0与x?+bx+a=0仅有一个公共根，那么a,b应满足的关系是：11.已知：方程x2+bx+l=0与x'—x—b=0有一个公共根为m,求：m,b的值.9.已知：方程x2+ax+b=0的两个实数根各加上1,就是方程x2-a2x+ab=0的两个实

9、数根.试求a,b的值或取值范围.10.已知：方程ax2+bx+c=0(a^0)的两根和等于s〕，两根的平方和等于S2,两根的立方和等于S3.求证:as3+bs2+csi=0.11.求证：方程X2—2(m+l)x+2(m—1)=0的两个实数根，不能同时为负.(可用反证法)12.己知：a,b是方程x2+mx+p=0的两个实数根；c,d是方程x2+nx+q=0的两个实数根.求证：(a—c)(b_c)(a_d)(b_d)=(p_q)2.13.如果一元二次方程的两个实数根的平方和等于5,两实数根的积是2,那么这个

10、方程是：14.如果方程(x-1)(x2-2x+m)=0的三个根，可作为一个三角形的三边长，那么实数m的収值范围是()233(A)OWmWl(B)m2—(C)—