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《专题5三元一次方程组的解法(必讲)(丁连根)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、专题5三元一次方程组的解法小明手头有12张而额分别为1元，2元，5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍，求1元，2元，5元纸币各多少张.（1）题冃中有几个未知量？（2）题目中有哪些等量关系？（3）如何用方程表示这些等量关系？解：设1元，2元，5元各x张，y张，z张.x+），+z=12,可得方程组卜+2y+5z=22,x=4y.考察该方程组可知：该方程组中含冇3个未知数，并H•所含未知数项的次数都是1,像这样的方程组叫做三元一次方程组.怎样解这个方程组呢？首先回忆一下二元一
2、次方程纽的解法：我们知道消元法是解二元一次方程纟R的主要解法，包括代入消元法和加减消元法。代入消元法是将方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式了表示出来，再代入另一个方程中，实现消元，进而求出方程组的解的解法，简称代入法。其主要步骤是：选择变形，代入消元，解一元方程，返代求值，规范写解；加减消元法是当两个二元一次方程中同一未知数的系数互为相反数或相同时，把这两个方程两边分别相加或相减，就可消去这个未知数，得到一个一元一次方程，然示进行求解的解法，简称加减法。消元法就是减少变量的个数，
3、是很重要的数学思想，在三元一次方程组求解过程中同样适用。兀+y+z=12,先来解决上题中的方程组：卜+2y+5z=22,「”以把③式分别代入①②，便消去了x,x-4y.4y+y+z=12,即4y+2y+5z=22,只包含y和刁二元了:x=8,）=2,z=2.3兀+4z=7,【例题1】解三元一次方程组＜2x+3y+z=995x-9y+7z=8.【解】②x3+③，得llx+10z=35④.①与④组成方程组3x+4z=7,llx+10z=35.解得x—5,z=-2.把"I代入②，得冷・x—5,因此，三
4、元一•次方程组的解为y=~,•3z=_2.【小结】此方程组的特点是①不含y,而②③中y的系数为整数倍关系，因此川加减法从②③中消去y后，再与①纽成关于x和z的二元一次方程组的解法最合理.反之用代入法运算较烦琐.x+y+Z=26,①【例题2】解方程组卜—y=l,②2兀+z-y=1&③【解法一】由②，得x=y+l④将④分别代入①、③得严+®[y+z=16.⑥Iy=9解这个方程组，得/'把y=9代入④，得x=10[z=7.x=10,所以，方程组的解为：b=9,z=7.【解法二】③一①，得x-2y=-
5、8④由②，④组成方程mr~y=1,®[x-2y=-&④[x=10解这个方程组，得b=9把x=10,y=9代入①中，得y=7x=10,所以，方程组的解为：卜=9,z=7.【解法三】由①+②■③，得y=9把y=9代入②，得x=1()把x=10,y=9代入①，得z=7x=10,所以，方程组的解为：(y=9,z=7.【小结】从上述问题的一题多解，使我们体会到，灵活运用代入法或加减法消元，将有助于我们迅速求解方程组。解法一是将②变形后代入①、③中消元，再求解；解法二是注意到方程组中方程②只含有未知数x、y
6、,是一个二元一次方程，而①、③中z的系数相等，可以直接消去z,得到关于x、y的方程和②组成二元一次方程组；解法三是进一步观察这三个方程中未知数系数间的对应关系从而发现①+②所得的方程小x与z的系数与方程③屮x与z的系数分别对应相等，因此可由①+②■③肓接得到关于y的一元一次方程，求出y值示再代回即可。x:y=8:5,①【例题3】解方程组卜：z=4:l,②3x+2y—7z=20・®【解】由①②，得x:y:z=&52设兀=8匕y=5k,z=2k,代入③，得24k+10k-14k=20,解得k=Ly=
7、5,z=2.x=&・・・方程组的解为＜y=5,z=2.【小结】木题解法是减元思想的运用，用k表示x,y,z示，实际上只剩下一个未知数k,只需解一元一次方程即可.【例题4】已知一元二次函数y=ax2+bx+c的图像过点(-1,0),(2,3),(5,60),求函数解析式.d-b+c=0,【解】由题意，得三元一次方程组”d+2Z?+c=3,25a+5h+c=60.②■①，得a+b=1,④③■①，得4a+b=l().⑤④与⑤组成二元一次方程组a+b=,4a+b=Q.把g=3,b=-2代入①,得c=
8、・5・因此，答：a=3,b=-2fc=-5.【小结】点在函数的图像上就是点的坐标适合函数解析式，也就是关于x,y的方程，由3个点在图像上得以得到三个方程，形成三元一次方程组进行求解。【例题5］在一次有12队参加的足球循坏赛（每两队Z间只赛一场）中，规定胜一场记3分,平一场记1分，负一场记0分.某队在这次循环赛屮所胜场数比所负场数多2场，结果共积18分，问该队战平儿场？【解】设该队胜x场，平y场，负z场x+y+z=ll,①由题意得卜—z=2,②3x+y=18.③由③④联立方程组解得x=5,y=3.
