基本不等式题解[1]

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1、3.4基本不等式经典例题：若a，b，c都是小于1的正数，求证：，，不可能同时大于．· 思路分析:本题是一个含否定词的命题,考虑用反证法进行证明.证明:假设(1-a)b＞,(1-b)c＞,(1-c)a＞同时成立,则＞,＞,＞.三式相加得 ++＞.①又≤,就是a+b≤2≤,≤,三式相加得 ++≤++=.②②与①矛盾.∴(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于.当堂练习：1.若，下列不等式恒成立的是　　　　　　　　　　（　A　）A．　　　B．　　C．　   D．2.若且，则下列四个数中最大的是 

2、 　　　　　（    B）Ａ．　　　　　Ｂ．　　　　　Ｃ．2ab　　　　　　Ｄ．a3.设x>0,则的最大值为                          （　C　）Ａ．3　　　　　　Ｂ．　　　　 Ｃ．　　　　Ｄ．－1     4.设的最小值是(   D  )    A.10           B.              C.            D.5.若x,y是正数，且，则xy有　　　　　　　　　（　C　）Ａ．最大值16　  Ｂ．最小值  Ｃ．最小值16　　Ｄ．最大值6.若a,b,c∈R，且ab+bc+

3、ca=1,则下列不等式成立的是      （ D  ）A．                     B．C．                    D．7.若x>0,y>0,且x+y4,则下列不等式中恒成立的是        （B）  A．        B．      C．      D．8.a,b是正数，则三个数的大小顺序是　（　D　）Ａ．　　            Ｂ．　　Ｃ．　　            Ｄ．9.某产品的产量第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，设这两年平均增长率为x，则有（　C　）　Ａ．　　　

4、Ｂ．　　 Ｃ．　　Ｄ．10.下列函数中，最小值为4的是　　　　        （　C　）Ａ．                        Ｂ．Ｃ．　　　　             Ｄ．11.函数的最大值为 1/212.建造一个容积为18m3,深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2的造价为200元和150元，那么池的最低造价为      5400     元.13.若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是         (根号2-1)/2。14.若x,y为非零实数，代数式的值恒为正，对吗？答     

5、  对.15.已知：,求mx+ny的最大值.根号ab 16.已知．若、,试比较与的大小，并加以证明. 17.已知正数a,b满足a+b=1（1）求ab的取值范围;（2）求的最小值. 18.设.证明不等式对所有的正整数n都成立. 参考答案：经典例题：【解析】 证法一 假设，，同时大于，∵1－a>0，b>0，∴≥，同理，.三个不等式相加得，不可能， ∴(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不可能同时大于.证法二 假设，，同时成立，∵1－a>0，1－b>0，1－c>0，a>0，b>0，c>0，∴，即. （*）  又∵≤，同理

6、≤，≤，∴≤与（*）式矛盾，故不可能同时大于.当堂练习：1.A;2.B;3.C;4.D;5.C;6.D;7.B;8.D;9.C;10.C;11.;   12.5400; 13. ;     14.对;15．    答案：当堂练习1.解：A：原式化为：a2-a++>0即：(a-)(a-)2≥02+>0成立B：因为a2+1≥1则≤1有等于1的时候，则不成立C：a2+9≤2=6a即a2+9≤6a，则不成立D：lg上面的a2+1≤2即a2+1≤2a有相等，则不成立2.解：A：B：≥2=2ab而(a+b)2=a2+b2+2ab=

7、1则a2+b2=1-2ab，又a+b已知条件a+b=1≥2，即2≤1，两边平方得4ab≤1则2ab≤，即a2+b2=1-2ab≥1-，a2+b2≥C：2abD：0C>D，又B≥，即B>A选B3.解：化为y=3-(3x+)对这部分用基本不等式，常数项3不带入。根据基本不等式a+b≥2设a=3x，b=，就有3x+≥2即3x+≥2则≤注意：后项用大值代入了，不等号要反向。3-(3x+)此为后项=3-2即≤3-2选C这题中：a可以是3x，b是4.解：3X+3Y≥2(此题中设a=3x，b=3y)，3X

8、+3Y≥2=2=2·9=185.解：a+b≥2=2，即2≤1,x,y是正数,两边平方≤1，xy≥16(最小值是16)6.解：基本不等式a+b+c≥3，ab+bc+ca≥3=3，即1≥3，此式开平方为1≥A：a2+b2+c2≥3（1≥3）即a2+b2+c2≥2不成立B：(a+b+c)2用基本不等式a+b+c≥3≥3·3（1≥3）即a