蒙特卡罗方法的应用及算例

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1、维普资讯http://www.cqvip.com第32卷第3期华北电力大学学报Vo1．32．No．32005年5月JournalofNorthChinaElectricPowerUniversityMay，2005蒙特卡罗方法的应用及算例何凤霞。，张翠莲(I．华北电力大学数理学院，北京102206；2．北华航天工业学院基础部，河北廊坊065000)摘要：利用概率极限定理思想，设计二重积分的蒙特卡罗算法，通过方差分析，选择适当的随机数，得到了理论意义下的方差最小算法，用实际算例验证了该方法的优良性。关键词：极限定理；蒙特卡罗；随机数；方差中图分类号：O211．5文献标识码：A文章编号：

2、1007-2691(2005)03-0110-03AppficationandcalculationcasesofMonteCarlomethodHEFeng-xia’，ZHANGCui-lian(1．SchoolofMathematicsandPhysics，NorthChinaElectricPowerUniversity,Beijing102206，China；2．Fun-damentalScienceDepartment,NorthChinaInstituteofAstronauticEngineering,Langfang065000，China)Abstract：Thep

3、robabilitylimittheoremisusedtodesignakindofMonteCarlomethodofdualintegra1．Throughanalysisofvariance，theproperrandomnumbersequenceischosen．Theminimumvariancealgorithmofthistheoremisobtained．Theactualcalculationcasesprovethepriorityofthismethod．Keywords：probabilitylimittheorem；MonteCarlomethod；ra

4、ndomnumbersequence；variance引言1蒙特卡罗计算重积分的最简算法——均匀随机数法利用计算机模拟随机现象产生的随机数据来进行近似计算的方法叫做蒙特卡罗方法。在工程、通1．1二重积分的蒙特卡罗方法(均匀随机数)讯、金融等技术问题中，实验数据很难获取，或实验实际计算中常常要遇到如’¨f(x,y)dxdy的二重数据的获取需耗费很多的人力、物力，对此，用计算积分，也常常发现许多时候被积函数的原函数很难机随机模拟就是最简单、经济、实用的方法：此外，对求出，或者原函数根本就不是初等函数，对于这样的一些复杂的计算问题，如非线性议程组求解、最优重积分，可以设计一种蒙特卡罗的方法

5、计算。化、积分微分方程及一些偏微分方程的解“，蒙特定理1⋯设)区域D上的有界函数，用均卡罗方法也是非常有效的。匀随机数计算’¨6f(x,y)dxdy的方法：一般情况下，蒙特卡罗算法在二重积分中用均匀随机数计算积分比较简单，但精度不太理想。通(1)取一个包含D的矩形区域Q：过方差分析，论证了利用有利随机数，可以使积分计口≤≤6，c≤≤其面积=(6一口)(—c)；算的精度达到最优。本文给出算例，并用MATALAB(2)。。)，i=1，⋯，为Q上的均匀分布随机数列，实现。不妨设(，Y，)，i=1，⋯，k为落在D中的k个随机数，收稿日期：2004—04-30．作者简介：何凤霞(1964一)，

6、女，华北电力大学数理学院教授维普资讯http://www.cqvip.com第3期何风霞等：蒙特卡罗方法的应用及算例则刀充分大时，有．kJIf≈蛋，)≈鲁五)。证毕。定理2用定理l中的公式(1)作近似计算时，2．2二重积分的蒙特卡罗算法(一般随机数)的方差其方差为定理4用定理3中的近似公式(3)计算时，其方差为【尸,y)dxdy一【盯,y)dx)2)，证略。[JIf一(JIf『]。1．2关于方差的分析证明：显然，对于均匀分布其均方差只能达到l／√刀，增加刀，计算量增加，但精度提高很慢。D(JIf砉=对于一般的随机数，也能用于计算积分，下面介绍二重积分的蒙特卡罗方法，通过选择适当的随机

7、[】=数，使计算精度提高。畿)dxdy一(册2蒙特卡罗计算重积分的一般方法——任意随机数法，告J~Jg(x,y)一【,y)dxdy)1o2．1二重积分的蒙特卡罗算法(一般随机数)3蒙特卡罗计算重积分的最优算法——有定理3设)区域D上的有界函数，用一般利随机数法随机数计算J=rx)的方法：(1)取一个包含D的矩形区域臼：日≤≤6，c≤任意随机数都能用于积分计算，对于不同的随≤；机数，计算结果的方差显然不同，在定理3中，取(2)取任一概率密度函数g(X，)，满