北京邮电大学《通信原理》课程讲义-随机信号分析

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1、随机信号分析¢随机过程的一般表述¢平稳随机过程¢高斯过程¢平稳随机过程通过线性系统¢窄带随机过程¢正弦波加窄带高斯过程¢循环平稳随机过程¢加性噪声2006-6-1613高斯过程(1)¢定义：任意n维概率密度是正态分布式fx(),,x……x;t,t,tnn1212n11⎡nn⎛⎞xa−⎛⎞xa−⎤jjkk=⋅exp⎢−∑∑B⎜⎟⎜⎟⎥2n2122jk⎜⎟()πσσ"σB⎢⎣Bjk==11⎝⎠σσjk⎝⎠⎥⎦12n¢概率密度函数仅取决于各随机变量的均值、方差和两两之间的归一化协方差函数(相关系数)¢性质：¢广义平稳⇔狭义平稳¢各随机变量之间互不相关⇔统计独立200

2、6-6-1623高斯过程(2)¢一维正态分布21⎡()xa−⎤fx()=−exp⎢⎥22πσ⎢2σ⎥⎣⎦fx()¢关于a对称：f(a+x)=f(a-x)σ2a∞11∫∫fx()dx=fx()dx=σ1−∞a22πσ1σ>σ121¢在点a处取极大值:2πσ■af∼(x)左右平移σ∼fx()宽窄ax2006-6-1633高斯过程(3)21⎛⎞x¢标准化正态分布:fx()=−exp⎜⎟2π⎝⎠2x21⎛⎞z¢概率积分函数:Φ=()xd∫exp⎜⎟−z2π−∞⎝⎠2x⎛⎞xa−¢概率分布函数:Fx()==∫f(z)dzΦ⎜⎟−∞⎝⎠σ2x2−z¢误差函数:erf()x

3、e=∫dz0πerf()x=2Φ−(2x)1erfcx()=1−erf(x)2006-6-1644平稳随机过程通过线性系统(1)xt()y()tx=()t∗h()tht()ξ(t)ξξ(tt)(=∗)h(t)ioi¢输出随机过程的均值∞∞E⎡⎤ξoi()tE=−⎡ξτ(t)h(τ)dτ⎤=−E⎡⎤ξ()thττ()dτ⎣⎦⎢⎣∫0⎥⎦∫0⎣⎦i∞==ah()ττdaH(0)ii∫0¢输出随机过程的自相关函数与功率谱密度平稳Rtξo(,t+=τ)E⎡⎣ξξoo(t)(t+τ)⎤⎦∞∞=+∫∫00Ruξi()τ−vh(u)h(v)dudv=Rξo(τ)2PR()ω

4、==F⎡⎤(τω)P()H()ωξξoo⎣⎦ξi2006-6-1654平稳随机过程通过线性系统(2)■ξξ()tt和()的互相关函数与互功率谱密度ioRtξξio(,t+=τ)E⎡⎣ξξio(t)(t+τ)⎤⎦=∗Rhξi(τ)(τ)PR()ω==F⎡⎤(τω)P()H()ωξξio⎣⎦ξξioξiN0■例.若输入ξτi()tR为白噪声,即()=δ()τ，则2NN00Rh()τ=∗δτ()()τ=h()τξξio22ξi()tξo()t1Tht()Rt()τξ=−()τξ(t)dtξξioT∫0io1T∫()dtT0N0≈=Rh()τ()τ延迟τξξio220

5、06-6-1664平稳随机过程通过线性系统(3)tRtˆt.■例.已知ξτ()的自相关函数()，求ξ()和ξ()的相关特性ξˆ()tt1()ξ=∗ξHj(ω)=−sgn(ω)πt2■PHˆ()ω==()ωωPξξ()P()ωξRR()τ=()τˆξξ1RRRˆ■ˆ()τ=∗()ττ=()奇函数ξξξξπτRRXY()τ=YX(−τ)RRˆˆ(τ)=−(ττ)=−Rˆ()奇函数ξξξξξ■RRˆˆ()00=()=0ξξξξ高斯ttˆξξ()与()同一时刻互不相关独立线性变换■ξ()t∼正态随机过程ξ(t)∼正态随机过程io2006-6-1675窄带随机过程(1)

6、Px(ω)−ωω−wω+wc0cωccω−ωc−w−ωc+w•定义：若x(t)为平稳随机过程，其功率谱密度如上图所示，满足ωc>>2w。•窄带随机过程的表示方法：x(t)=a(t)cos[ωct+ϕ(t)]=xc(t)cosωct−xs(t)sinωctxc(t)=a(t)cosϕ(t)xs(t)=a(t)sinϕ(t)∆f:f<1%~窄带；1%至20%~宽带；>20%~超宽带c2006-6-168窄带随机过程的等效低通表示•x(t)的解析信号可表示为jtz(t)=x(t)+jxˆ(t)=x(t)ωcLejtx(t)=Re[z(t)]=Re[x(t)ωc]Le

7、jϕ(t)可以证明，有xL(t)=xc(t)+jxs(t)=a(t)e•z(t)的自相关函数与功率谱密度R(τ)=2[R(τ)+jRˆ(τ)]zxx8Pz(ω)=4Px(ω)u(ω)⎧1ω>0u(ω)=⎨⎩0ω<02006-6-169复包络的相关函数与功率谱密度−jτ•相关函数R(τ)=R(τ)eωcxLz•功率谱密度(ω)=P(ω+)PxLzωc2006-6-1610xc(t)和xs(t)的统计特性−jt由x(t)=z(t)ωc⇒Le(t)=x(t)cost+xˆ(t)sintxcωcωc(t)=xˆ(t)cost−x(t)sintxsωcωc可以证明，有R

8、xc(τ)=Rxs(τ)=Rx(τ)c