专题七_函数、导数与零点、恒成立问题(整理)

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1、专题函数、导数与零点、恒成立问题函数、导数与零点问题例1、已知函数是实数集R上的奇函数，函数是区间[一1，1]上的减函数．(I)求a的值；(II)若在x∈[一1，1]上恒成立，求t的取值范围．(Ⅲ)讨论关于x的方程的根的个数。变式1、若问是否存在实数m，使得y=f（x）=的图象与y=g（x）的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.变式2、已知函数f(x)=－x+8x,g(x)=6lnx+m（Ⅰ）求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t);（Ⅱ）是否存在实数m，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的

2、取值范围；，若不存在，说明理由。9专题函数、导数与零点、恒成立问题例2、已知函数f(x)=ax3+bx2－3x在x=±1处取得极值.（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；　（Ⅱ）求证：对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有

3、f(x1)－f(x2)

4、≤4；（Ⅲ）若过点A（1，m）（m≠－2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.变式3．奇函数的图象E过点两点.（1）求的表达式；（2）求的单调区间；（3）若方程有三个不同的实根，求m的取值范围.例3．已知是二次函数，不等式的解集是且在区间上的最大值是12。（I）求的解析式；（II）是否存在自然数使得方程在区

5、间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。9专题函数、导数与零点、恒成立问题变式4．已知函数的一个极值点.（Ⅰ）求a；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）若的图象与x轴有且只有3个交点，求b的取值范围.例4．已知函数（Ⅰ）若，求的极大值；（Ⅱ）若在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k的取值范围.变式5、已知两个二次函数：与，函数y＝g（x）的图像与轴有两个交点，其交点横坐标分别为（1）试证：在（－1，1）上是单调函数（2）当>1时，设，是方程的两实根，且，试判断，，，的大小关系变式6．设函数其中（1）求函数的最值；（2）判断，当时，函数在区间内是否

6、存在零点。9专题函数、导数与零点、恒成立问题函数、导数与零点问题答案例1、解：（I）是奇函数，则恒成立.（II）又在[－1，1]上单调递减，令则.（III）由（I）知令，，当上为增函数；上为减函数，当时，而，、在同一坐标系的大致图象如图所示，∴①当时，方程无解.②当时，方程有一个根.③当时，方程有两个根.变式1、令因为x＞0，要使函数f（x）与函数g（x）有且仅有2个不同的交点，则函数的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点当x∈（0，1）时，是增函数；当x∈（1，3）时，是减函数当x∈（3，+∞）时，是增函数当x=1或x=3时，∴又因为当x→0时，当所以要使有且仅有两个不

7、同的正根，必须且只须即∴m=7或∴当m=7或时，函数f（x）与g（x）的图象有且只有两个不同交点。9专题函数、导数与零点、恒成立问题变式2、解：（I）当即时，在上单调递增，当即时，当时，在上单调递减，综上，（II）函数的图象与的图象有且只有三个不同的交点，即函数的图象与轴的正半轴有且只有三个不同的交点。当时，是增函数；当时，是减函数；当时，是增函数；当或时，当充分接近0时，当充分大时，要使的图象与轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须　　即所以存在实数，使得函数与的图象有且只有三个不同的交点，的取值范围为例2．解：（I）f′(x)=3ax2+2bx－3，依题意，f′(1)=f′

8、(－1)=0，即解得a=1，b=0.∴f(x)=x3－3x.（II）∵f(x)=x3－3x,∴f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)，当－1

9、f(x1)－f(x2)

10、≤

11、fmax(x)－fmin(x)

12、；

13、f(x1)－f(x2)

14、≤

15、fmax(x)－fmin(x)

16、=2－(－2)=4（III）f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)，∵曲线方程为y=x3－3x，∴点A（1，m）

17、不在曲线上.设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足因，故切线的斜率为，整理得.∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，∴关于x0方程=0有三个实根.设g(x0)=，则g′(x0)=6，由g′(x0)=0，得x0=0或x0=1.∴g(x0)在（－∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减.∴函数g(x0)=9专题函数、导数与零点、恒成立问题的极值点为x0=0，x0=1∴关于x0方程=0有三个实根的充要条件是，解得－3