2017浦东高三数学二模试题

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浦东新区2016学年度第二学期质量抽测高三数学试卷2017.4注意：1.答卷前，考生务必在试卷上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚.2.本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.x21、已知集合Ax0，集合By04y，则AB=____[2,4)________.x1xt442、若直线l的参数方程为,tR，则直线l在y轴上的截距是_____1______.yt233、已知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为30，则该圆锥的侧面积为____8π______.124、抛物线yx的焦点到准线的距离为______2_______.42155、已知关于xy,的二元一次方程组的增广矩阵为，则3xy=___5_______.1206、若三个数aaa,,的方差为1，则3a2,3a2,3a2的方差为9.1231237、已知射手甲击中A目标的概率为0.9，射手乙击中A目标的概率为0.8，若甲、乙两人各向A目标射击一次，则射手甲或射手乙击中A目标的概率是___0.98________.π328、函数ysinx,x0,π的单调递减区间是_____0,π__________.623S1n9、已知等差数列a的公差为2，前n项和为S，则lim=_________.nnnaa4nn110、已知定义在R上的函数fx满足：①fxf20x；②fxf20x；③在x1xx2,1,02,x01,1上的表达式为fx，则函数fx与函数gxlogxx,01xx,0,112的图象在区间3,3上的交点的个数为6.11、已知各项均为正数的数列an满足：2an11anaann10nN，且aa110,则首项a所有可能取值中的最大值为16.1—1— 112、已知平面上三个不同的单位向量abc,,满足abbc，若e为平面内的任意单位向量，2则ae23bece的最大值为_______21__________.二、选择题(本大题共有4小题，满分20分)每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.13、若复数z满足zizi2，则复数z在复平面上所对应的图形是（D）A、椭圆；B、双曲线；C、直线；D、线段.14、已知长方体切去一个角的几何体直观图如图所示给出下列4个平面图：（1）（2）（3）（4）则该几何体的主视图、俯视图、左视图的序号依次是（C）A、(1)(3)(4)；B、(2)(4)(3)；C、(1)(3)(2)；D、(2)(4)(1).x15、已知2sinxx1cos，则cot=（C）211A、2；B、2或；C、2或0；D、或0.2216、已知等比数列aaaa1,2,,34满足a10,1，a21,2，a32,4，则a4的取值范围是（D）A、3,8；B、2,16；C、4,8；D、22,16.—2— 三、解答题（本大题共有5小题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤．17、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图所示，球O的球心O在空间直角坐标系Oxyz的原点，半径为1，且球O分别与xyz,,轴的正半轴交于ABC,,三点.31已知球面上一点D0,,.22（1）求DC,两点在球O上的球面距离；（2）求直线CD与平面ABC所成角的大小．31解：（1）由题意：A1,0,0,B0,1,0,C0,0,1,D0,,2231则CD0,,，……………………………………………………2分22π所以CD1，即OCD为等边三角形，所以DOC，…………4分3ππ则DC1…………………………6分33（2）设直线CD与平面ABC所成角为，易得平面ABC的一个法向量n1,1,1，…………………………11分31CDn2233则sin，…………………………13分CDn13633即直线CD与平面ABC所成角arcsin…………………………14分6—3— 18、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某地计划在一处海滩建造一个养殖场.2π（1）如图，射线OAOB,为海岸线，AOB，现用长度为1千米的围网PQ依托海岸线3围成一个POQ的养殖场，问如何选取点PQ,，才能使AP养殖场POQ的面积最大，并求其最大面积.QOB（2）如图，直线l为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场.方案一：围成三角形OAB（点AB,在直线l上），使三角形OAB面积最大，设其为S；1方案二：围成弓形CDE（点DE,在直线l上，C是优弧DE所在圆的圆心且2πDCE），其面积为S；23试求出S的最大值和S（均精确到0.001平方千米），并指出哪一种设计方案更好.12OCABDE解：（1）设OPxOQ,y221221由余弦定理得1xy2xyxyxy3xy，xy…4分231211333则Sxysinπ，S（平方千米）max2323212123即选取OPOQ时养殖场POQ的面积最大.…………6分3—4— （2）方案一：围成三角形OAB2OAOB1设AOB，由OAOB1OAOB，241当且仅当OAOB时取等号.21111所以，SOAOBsin1（平方千米），122481π当且仅当OAOB,时取等号.……………9分22方案二：围成弓形CDE4π设弓形中扇形所在圆C的半径为r，而扇形圆心角为、弧长为1千米，313故r.…………10分4π4π31122π于是S1rrsin…………11分222331930.144（平方千米）…………13分28π216π2即SS，方案二所围成的养殖场面积较大，方案二更好.……………14分12—5— 19、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）22xy已知双曲线C:1，其右顶点为P.43（1）求以P为圆心，且与双曲线C的两条渐近线都相切的圆的标准方程；（2）设直线l过点P，其法向量为n(1,1)，若在双曲线C上恰有三个点PPP,,123到直线l的距离均为d，求d的值.3解：（1）由题意，P(2,0)，渐近线方程：yx，即3xy20……………2分223221则半径rd，……………4分3472212所以圆方程为：xy2……………6分7（2）若在双曲线C上恰有三个点PPP,,到直线l的距离均为d，则其中一点必定是与123直线ly:2x平行的直线与双曲线其中一支的切点……………8分'设直线l'与双曲线C相切，并且与直线l平行，则ly:xb，即有yxb22，消去y，得到x8bx124b0……………10分223xy41222'则64bb16(3)0，解得b1，所以ly:1x…………12分1232122'又d是l与l之间的距离，所以d或者d2222……………14分—6— 20、（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）*k若数列An对任意的nN，都有Ann+1Ak0，且An0，则称数列A为“k级创新数列”.n21（1）已知数列a满足a22aa，且a，试判断数列21a是否为“2级创nn1nn1n2新数列”，并说明理由；（2）已知正数数列bn为“k级创新数列”且k1，若b110，求数列bn的前n项积．Tn；2（3）设,是方程xx10的两个实根（），令k，在（2）的条件下，记n1*数列cn的通项cTnlogbnn，求证：cn21cncn，nN.222解：（1）由a22aa，∴2a+14a4+1a，即2aa121，n1nnn1nnnn1……………………2分且2a120，………………………3分1∴21a是“2级创新数列”………………………4分nk（2）由正数数列bn是“k级创新数列”，得bnn+1bk0,1，且bn0∴lgbklgb，………………………6分nn+1∴lgbn是等比数列，且首项lgb11，公比qk；nn11∴lgblgbqk；………………………7分n1由TbbblgTlgblgblgb………………………9分n12nn12nnn1k1kk21kn1kTn101kN，∴……………………10分1knn1kn1n1lgTnn11k（3）由k，cTlognbnnn1lgbkn—7— nn111knnnn1；……………………12分nn1nn1kk212由,是方程xx10的两根，∴；……………………14分21n11nnn1n11nnn∴ccnn1nn221nn11c.…………………16分n2—8— 21、（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）对于定义域为R的函数gx，若函数singx是奇函数，则称gx为正弦奇函数.已知fx是单调递增的正弦奇函数，其值域为R，f00.（1）已知gx是正弦奇函数，证明：“u为方程singx1的解”的充要条件是0“u为方程singx1的解”；0ππ（2）若fa,fb，求ab的值；22（3）证明：fx是奇函数.证明：（1）必要性：u为方程singx1的解，即singu1，故singusingu1，0000即u为方程singx1的解.…………………………………………………2分0充分性：u为方程singx1的解，即singu1，故singu1，000singu01，即u0为方程singx1的解.………………………………4分（2）因为fbf0fa，由fx单调递增，可知ba0.……………………5分由（1）可知，若函数fx是正弦奇函数，则当a为方程sinfx1的解，必有a为方程sinfx1的解，πsinfa1，即fa2mπmZ，2π而a0，故faf00，从而fafbab，2即ab0；……………………7分ππ同理fb2nπnZ,0fbf，故fbfaba，22即ab0；…………………………9分综上，ab0.…………………………10分—9— （3）fx的值域为R且单调递增，故对任意cR，存在唯一的x,使得fxc.00…………11分ππ**可设fannnπ,fbnπnN，下证annb0nN.22当n1时，由（2）知ab0,命题成立；………………………………12分11假设nk时命题成立，即ab0,,ab0，而由fx的单调性11kk知bbb0aaa，知ab,ba，k1k11kk1k11kkk则当nk1时，a为方程sinfx1的解，故a为方程sinfx1的解，k1k1且由单调性知fafb，故fafb，得ab；kk1kk11kk11同理ba，故ab0.……………………………………………14分kk11kk11要证fx是奇函数，只需证：对任意x0，都有fxfx.*记ab000，若xannN，则xbn，fxnfanfx；2……………………………………………………15分ππ若xa,anN，则fx2n,2n,2nn2122ππππfx2nπ,2nπ，xb2nn1,b2,fx2nπ,2nπ，2222ππ而正弦函数在2nn,2上单调递增，22故由sinfxsinfxsinfx得fxfx.若xa,anN，同理可证得fxfx.…………………17分2nn122综上，对任意x0，都有fxfx.故fx是奇函数.……………18分—10—