理科高三数学第8讲：函数3（学生版）

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1、函数的单调性、奇偶性和周期性大脑体操)指导语：请找出下面的海马。函数是从非空数集Q(r>cD)到实数集口上的一个映射,其屮，集合D是函数/的定义域，集合｛/(x)xeD｝是函数的值域.1、单调性设函数y=/(x)的定义域为D,区间/c£>.对任意xpx2eI,记心-占，△)=/(兀2)-/(兀J，(1)(2)若y=f(x)在区间/上是增(减)函数,就说/(Q在/上单调递增(减)，/称为/⑴的单调区间.设y=/(X)的定义域为D,区间IqD.则y=f(x)在/上是增(减)函数当且仅当对/中的任意两个值召，左(旺工

2、兀2)，函数的“平均变化率”0三心(<)o.Arx2-x}2、奇偶性设函数y=/(x)的定义域为Q,只要xeD,就有D且,则y=/(x)是偶函数；设函数y二/(%)的定义域为D,只要"D,就有-xgD且,则y=/(%)是奇函数.偶函数的图象关于y轴对称，反之亦然；奇函数的图象关于原点对称，反之亦然.3、周期性设函数y=/(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数7,对任意xeD,都满足兀+7^7),且,那么，函数/(无)就叫做周期函数，T叫做这个函数的周期.对一个周期函数/(兀)，若在它的所有周期中存在一个最小的正

3、数，则该正数就叫它的最小正周期.4.复合函数的单调性:J=/(w)U=0(x)y=/(。(兀))傀a傀a3.函数加减运算的单调性y=f(x)y=gMy=f(x)+g(x)y=fM-g(x)增增增9•增减?•增减增7•减减减减9■教学重•难点J作业完成情处sUXD耶稣带着他的门徒彼得远行，途中发现一个破烂的马蹄铁•耶稣让彼得把它捡起来.不料，彼得懒得弯腰,就假装没听见•耶稣没说什么，就自己玩腰捡起马蹄铁，用它的铁匠那里换來三文钱，并用这三文钱买了十八颗樱桃.出了城，二人继续赶路,走过的全是茫茫荒野.这时，耶稣知道彼

4、得一定渴得够锻,就让藏于袖中的樱桃悄悄地掉出一颗•彼得一见樱桃,赶紧捡起来吃……就这样，耶稣边走边丢，彼得也就狼狈的弯了十八次腰.最后，耶稣笑笑对彼得说：”如果你刚才肯弯一次腰，就不会现在没完没了的弯腰拉.不屑于小事，将在更小的事情上操劳.”材料二：美国气象学家爱德华・罗伦兹(EdwardLorenz)在1963年提出来一种效应——蝴蝶效应(ButterflyEffect)大意为：在南美洲亚马孙河流域热带雨林中一只的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，在两周后，可能会引起美国徳克萨斯州的一场龙卷风。其原因在于：蝴蝶翅膀的运动

5、，导致其身边的空气系统发生变化，并引起微弱气流的产生,而微弱气流的产生又会引起它四周空气或其他系统产生相应的变化，由此引起连锁反应，最终导致其他系统的极大变化。这两则材料中一件事都引起了另一件事的发生，它们发生变化的幅度一样吗？联系所学的函数知识，材料一和材料二中的变化可分别用哪两类函数來反映？答：线性变化和指数变化。线性函数和指数函数。特鱼讲解)题型一、函数单调性的证明例1、函数fix')=-^+1在R上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R上是增函数还是减函数？试证明你的结论.变式训练：1.试讨论函数f^=y

6、l-x2在区间［—1,1］上的单调性.例2、判断下列函数的单调性，并求出单调区间.(1)f(x)=x3+3x；(2)/(x)=x2-2x-3例3・已知函数y=x+-，试讨论出此函数的单调区间.题型二、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)例1、已知函数/(力在(°，+°°)上是减函数，比较fS一°+1)与/(-)的大小.4X例2、变式训练1：fd)是定义在(0,+oo)上的增函数，且A-)=fd)—f(y)y(1)求hi)的值.(2)若f⑹二1,解不等式/(x+3)-/(-)<2.

7、x变式训练2：已知朋)是定义在(一2,2)上的减函数,并且f(m-l)-/(l-2m)>0f求实数m的取值范围.例2、已知函数心)丿+“+",声[1,+8](1)当沪丄时，求函数的最小值；2(2)若对任意xW[l,+°°),f(y)>0恒成立，试求实数日的取值范围.例3、设函数/(%)=2+1-Q,(Q>0),试确定：当曰取什么值时，函数f3在(0,+oo)上为单调函数.题型三函数奇偶性的判断例1、判断下列函数的奇偶性：(1)/(%)=lg(Vx2+1-X);（2）/（%）=yJx-2+y/2-X］兀（1一兀）,

8、（兀vO）⑶/（心［兀（1+兀）,（兀＞0）题型三函数奇偶性的应用例1、设定义在［一2,2］上的偶函数代方在区间［—2,0］上单调递减,若f(l—/〃)〈£(/〃)，求实数/〃的取值范围.变式应用I：已知y二代方是偶函数，且在心+oo)上是减函数，则rd-/)是增函数的区间是.变式应用2:f(x)是定义在R上的奇函数，且满足=f{x),又当(0,1)时，f{x)=2l—1