一道不等式恒成立问题的多角度审视

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1、横看成岭侧成峰远近高低各不同---------一个不等式恒成立问题的多角度审视安徽省怀宁县东升高级中学孙汪杰数学教学中，总离不开解题，因为“问题”是数学的“心脏”.而“问题”的解决寓于观察、联想之中.观察是基础，是解题的门户；联想是思维的翅膀，是解决“问题”的必经之路，当然是解题的关键.平时的数学课堂教学中如果教师经常引导学生从已有的知识出发，对“问题”的条件或结论进行多角度的观察，将所学的知识与未解决的问题联系起来，展开合理、恰当、有效、广泛的联想，那么问题解决起来会显得更灵活、更富有创造性.从而达到举一反三、融会贯通的境界.本文就一道不等式恒成立问题，谈谈在高三复习课

2、中的教学体会，供同行交流.题目：设实数x,y满足x2+(y-1)2=1,若不等式x+y+m≥0恒成立，求m的取值范围.说明：这是散落在各种高中数学课外资料上的一道传统题目，多坐落在不等式一章中.分析1：不等式恒成立，求参数的取值范围，解决这类问题的首选方法是分离参数，原不等式可变为-m≤x+y，问题转化为在满足x2+(y-1)2=1的条件下,求x+y的最小值.考虑到等式x2+(y-1)2=1具有“sin2+cos2=1”的特点，故采用三角换元法.3/3解法1：原不等式可变为-m≤x+y,则问题等价于-m不大于x+y的最小值令x=cos,y-1=sin,（0≤＜2）则x+y

3、=sin+cos+1=sin(+)+1≥1-,（当且仅当=时取等号）从而-m≤1-,即m≥-1.故m的取值范围是[-1,+∞).注：这种采用三角换元法求x+y的最值，完全是基于对已知条件x2+(y-1)2=1的观察，继而联想到三角函数中基本关系式的结果.分析2：原不等式等价于x+(y-1)≥-m-1,问题转化为求x+(y-1)的最小值.观察式子x2+(y-1)2和x+(y-1)的结构，联想到不等式一章的学习过程中，我们曾证明过下面的不等式：2(a2+b2)≥(a+b)2,这个不等式中涉及的就是“两个实数的和”与“平方和”之间的关系，于是有下面的解法.解法2：原不等式变为x

4、+(y-1)≥-m-1，则问题转化为求函数x+(y-1)的最小值.由2[x2+(y-1)2]≥(x+y-1)2得-≤x+y-1≤，故m的取值范围是[-1,+∞).注：本解法也可以看作使用了“柯西不等式”的特例，设a,b,c,d∈R,则有（a2+b2）·(c2+d2)≥(ac+bd)2,其中c=d=1.分析3：观察式子“x2+(y-1)2=1”的结构特征—平方和，使我们联想到平面向量坐标形式模的公式，于是尝试利用平面向量的数量积性质

5、·

6、≤

7、

8、

9、

10、来求解x+y-1的最值.解法3：令=(x,y-1),=(1,1),则

11、

12、=,

13、

14、=,·=(x,y-1)(1,1)=x+y-1,由

15、

16、·

17、≤

18、

19、

20、

21、得3/3

22、x+y-1

23、≤，以下略.分析4：式子“x2+(y-1)2=1”最容易让我们想到圆的方程，而不等式x+y+m≥0也不难使我们想到平面区域.问题转化为求m的取值范围，使得圆x2+(y-1)2=1上所有点都在不等式x+y+m≥0表示的平面区域内.解法4：条件x2+(y-1)2=1可看作圆心为C（0，1），半径为1的圆.不等式x+y+m≥0表示直线L：x+y+m=0的右侧半平面（含边界），那么问题等价于求m的取值范围，使得圆x2+(y-1)2=1上所有点都在上述平面区域内，其充要条件是直线L与圆C最多有一个公共点，且圆在直线的上方.于是有≥1，解得m≥-

24、1.（考虑m的几何意义进行取舍）故m的取值范围是[-1,+∞).结束语：在解题过程中为了寻找问题的解决线索，往往借助于类比联想，以达到启发思路的目的，因此，类比联想在求解问题中有着广泛的应用.在解题教学中采用类比教学，可以达到梳理知识、归纳题型、总结解题方法，这样做既有利于学生记忆和掌握所学知识，又有利于培养学生联想思维的灵活性.在数学教学中我们要培养学生学会观察问题的条件和结论，联想到与之内容相近的有关知识，从而发现解决问题的思路发散联想就是在接触某一事物时产生丰富的联想，将思维向更广阔的空间，得出更丰富的结论.我们在讲解教材中的概念、法则、公式、例题时，应引导学生从不

25、同的方面，不同的角度去联想，培养学生一题多解的发散思维能力.3/3