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1、微分方程模型微分方程模型1传染病模型2经济增长模型3正规战与游击战4药物在体内的分布与排除5香烟过滤嘴的作用6人口预测和控制7烟雾的扩散与消失8万有引力定律的发现•描述对象特征随时间(空间)的演变过程动态模型•分析对象特征的变化规律•预报对象特征的未来性态•研究控制对象特征的手段微分•根据函数及其变化率之间的关系确定函数方程•根据建模目的和问题分析作出简化假设建模•按照内在规律或用类比法建立微分方程1.传染病模型问题•描述传染病的传播过程•分析受感染人数的变化规律•预报传染病高潮到来的时刻•预防传染病蔓延的
2、手段•按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型模型1已感染人数(病人)i(t)假设•每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为λ建模i(t+∆t)−i(t)=λi(t)∆tdiλt=λii(t)=ie0dti(0)=it→∞⇒i→∞?0若有效接触的是病人，必须区分已感染者(病则不能使病人数增加人)和未感染者(健康人)模型2区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假设1）总人数N不变，病人和健康SI模型人的比例分别为i(t),s(t)2）每个病人每天有效接触人数λ~日为λ,且使接触的健康人致病接触率建模
3、N[i(t+∆t)−i(t)]=[λs(t)]Ni(t)∆tdi⎧di=λsi⎪=λi(1−i)dt⎨dts(t)+i(t)=1⎪⎩i(0)=i0模型2⎧di⎪=λi(1−i)Logistic模型⎨dti⎪⎩i(0)=i011i(t)=⎛1⎞1+⎜−1⎟e−λt1/2⎜i⎟⎝0⎠i0⎛1⎞−10tmtt=λln⎜−1⎟m⎜⎟⎝i0⎠t=t,di/dt最大mt~传染病高潮到来时刻t→∞⇒i→1?mλ(日接触率)↓→tm↑病人可以治愈！模型3传染病无免疫性——病人治愈成SIS模型为健康人，健康人可再次被感染增加
4、假设3）病人每天治愈的比例为µµ~日治愈率建模N[i(t+∆t)−i(t)]=λNs(t)i(t)∆t−µNi(t)∆t⎧di⎪=λi(1−i)−µiλ~日接触率⎨dt⎪⎩i(0)=i1/µ~感染期0σ=λ/µσ~一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。didi1模型3=λi(1−i)−µiσ=λ/µ=−λi[i−(1−)]dtdtσdi/dtiii0σ>1σ≤1σ>1i01-1/σdi/dt<0i01-1/σ1i00t0t⎧1⎪1−,σ>1接触数σ=1~阈值i(∞)=⎨σ⎪⎩0,σ≤1σ≤1⇒i(
5、t)↓σ>1⇒i(t)按S形曲线增长感染期内有效接触感染的i0小健康者人数不超过病人数模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例模型4传染病有免疫性——病人治愈SIR模型后即移出感染系统，称移出者假设1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为i(t),s(t),r(t)2）病人的日接触率λ,日治愈率µ,接触数σ=λ/µ建模s(t)+i(t)+r(t)=1需建立i(t),s(t),r(t)的两个方程模型4SIR模型N[i(t+∆t)−i(t)]=λNs(t)i(t)∆t−µNi(t)∆tN[
6、s(t+∆t)−s(t)]=−λNs(t)i(t)∆t⎧di=λsi−µi⎪dt⎪无法求出i(t),s(t)⎪ds⎨=−λsi的解析解⎪dt⎪i(0)=i,s(0)=s00⎪在相平面s~i上⎩研究解的性质i+s≈1(通常r(0)=r很小）000模型4SIR模型di消去dt⎧di1⎧=si−i=−1⎪λµσ=λ/µ⎪dt⎨dsσs⎪⎪ds⎪i=i⎨=−λsi⎩s=s00dt⎪相轨线⎪i(0)=i,s(0)=s001s⎪⎩i(s)=(s+i)−s+ln00σs0相轨线i(s)的定义域i1D={(s,i)s≥0,
7、i≥0,s+i≤1}在D内作相轨线i(s)D的图形，进行分析s01模型4相轨线i(s)及其分析SIR模型⎧dii=λsi−µi⎧di1⎪dt⎪=−11s⎪⎨dsσs1i(s)=(s0+i0)−s+ln⎪dsσs=−0⎨λsi⎪i=i⎪dt⎩s=s00D⎪i(0)=i0,s(0)=s0P4⎪⎩P2s(t)单调减→相轨线的方向im∗Ps=1/,i=i1σmt→∞,i→0P3s满足s+i−s+1lns∞=001sS01/σs0s∞00∞∞σs0P1:s0>1/™→i(t)先升后降至0传染病蔓延1/™~阈值P2:s
8、0<1/™→i(t)单调降至0传染病不蔓延模型4预防传染病蔓延的手段SIR模型传染病不蔓延的条件——s<1/σ0•提高阈值1/σ降低σ(=λ/µ)λ↓,µ↑λ(日接触率)↓⇒卫生水平↑µ(日治愈率)↑⇒医疗水平↑•降低s0提高r0群体免疫s+i+r=1000σ的估计1s∞忽略i=lns0−lns∞s+i−s+ln=00σ00∞σs0s−s0∞模型4被传染人数的估计SIR模型记被传染人数比例x=s−s0∞1s1xs
