北京市海淀区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷高三数学(文科)

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1、北京市海淀区2013—2014学年度第一学期期末试卷高三数学(文科)一、选择题（共8小题；共40分）1.复数ii+1等于 A.1+iB.−1+iC.1−iD.−1−i2.已知直线l1:x+2y−1=0与直线l2:mx−y=0平行，则实数m的取值为 A.−12B.12C.2D.−23.为了估计某水池中鱼的尾数，先从水池中捕出2000尾鱼，并给每尾鱼做上标记（不影响存活），然后放回水池，经过适当的时间，再从水池中捕出500尾鱼，其中有标记的鱼为40尾，根据上述数据估计该水池中鱼的尾数为 A.10000B.20000C.25000D.300004.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S值

2、为 A.15B.14C.7D.65.已知a=log23，b=log46，c=log49，则 A.a=bbD.a>c>b6.已知函数fx=2x,x≥2,x2−3,x<2,若关于x的方程fx=k有三个不等的实根，则实数k的取值范围是 A.−3,1B.0,1C.−2,2D.0,+∞7.在△ABC中，若a=2b，面积记作S，则下列结论中一定成立的是 A.B>30∘B.A=2BC.c

3、值为 第8页（共8页）A.2B.62C.233D.1二、填空题（共6小题；共30分）9.双曲线x2−y23=1的离心率为 ．10.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为 ．11.已知点Px,y的坐标满足x+y−4≤0,1≤x≤2,y≥0,则z=x+2y的最大值为 ．12.已知等差数列an和等比数列bn满足a1=b1=−2，a2=b2=4，则满足an=bn的n的所有取值构成的集合是 ．13.某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为 ；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分

4、厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1020小时，980小时，1030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为 小时．14.直线x=1与抛物线C:y2=4x交于M，N两点，点P是抛物线C准线上的一点，记OP=aOM+bON（a,b∈R），其中O为抛物线C的顶点．第8页（共8页）（1）当OP与ON平行时，b= ．（2）结出下列命题：①∀a,b∈R，△PMN不是等边三角形；②∃a<0且b<0，使得OP与ON垂直；③无论点P在准线上如何运动，a+b=−1总成立．其中，所有正确命题的序号是 ．三、解答题（共6小题；共78分）15.函数fx=cos2xsinx+cosx+2sinx．（1）求fπ

5、4的值；（2）求函数fx的最小正周期及其图象的所有对称轴的方程．16.根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击击中目标靶的环数的频率分布情况如图所示（1）求上图中a的值；（2）求甲队员命中环数大于7环的概率（频率当作概率使用）；（3）由上图判断甲、乙两名队员中，哪一名队员的射击成绩更稳定?（结论不需证明）17.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PB，且侧面PAB⊥平面ABCD，点E是棱AB的中点．（1）求证：CD∥平面PAB；（2）求证：PE⊥AD；（3）若AC=CB，求证：平面PEC⊥平面PAB．18.已知函数fx=x+aex，其中a为常数．（1）若函数fx是区间−3,

6、+∞上的增函数，求实数a的取值范围；（2）若fx≥e2在x∈0,2时恒成立，求实数a的取值范围．第8页（共8页）19.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为12，右焦点为F，右顶点A在圆F:x−12+y2=r2（r>0）上．（1）求椭圆C和圆F的方程；（2）已知过点A的直线l与椭圆C交于另一点B，与圆F交于另一点P．请判断是否存在斜率不为0的直线l，使点P恰好为线段AB的中点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．20.如果函数fx满足在集合N*上的值域仍是集合N*，则把函数fx称为N函数．例如：fx=x就是N函数．（注：“x”表示不超过x的最大整数）（1）判断下

7、列函数：①y=x2，②y=2x−1，③y=x中，哪些是N函数?（只需写出判断结果）（2）判断函数gx=lnx+1是否为N函数，并证明你的结论；（3）证明：对于任意实数a，b，函数fx=b⋅ax都不是N函数．第8页（共8页）答案第一部分1.B2.A3.C4.A【解析】a和S的值分别是2,1，4,3，8,7，16,15，故最后输出15．5.C【解析】应用对数的换底公式可得log49=log29log24=log2