【联考】2016年山西省四校高三理科第二次联考数学试卷

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1、【联考】2016年山西省四校高三理科第二次联考数学试卷一、选择题（共12小题；共60分）1.若奇函数fx在0,+∞上是增函数，又f−3=0，则xx⋅fx<0等于  A.xx>3或−33或x<−3D.x0

2、图（图中“mMODn”表示m除以n的余数），若输入的m，n分别为495，135，则输出的m=  A.0B.5C.45D.904.已知等比数列an中，各项都是正数，且a1，12a3，2a2成等差数列，则a9+a10a7+a8=  A.1+2B.1−2C.3+22D.3−225.已知a=1，b=2，a−2b=5，则向量a，b的夹角为  A.π6B.π3C.π4D.π26.学校组织某班学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为20,40，40,60，60,80，80,100．若低于60分的学生有15人，则该班的学生人数是  A.45B.50C.55D.607.“a≤0”是“

3、函数fx=ax−1x在区间0,+∞内单调递增”的  A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是  A.28+65B.30+65C.56+125D.60+1259.将函数y=3cosx+sinxx∈R的图象向左平移mm>0个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是  A.π12B.π6C.π3D.5π610.已知1+x10=a0+a11−x+a21−x2+⋯+a101−x10，则a8等于  A.−5B.5C.90D.18011.设抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F，点M在C上，∣MF∣=5，

4、若以MF为直径的圆过点0,2，则C的方程为  A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x12.若函数fx=x2+ex−12x<0与gx=x2+lnx+a图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是  A.−∞,eB.−∞,1eC.−1e,eD.−e,1e二、填空题（共4小题；共20分）13.定积分∫0416−x2dx= ．14.已知x，y满足约束条件x−y+1≥0,x+y≤2,y≥0,则z=x+12+y−12的最小值是 ．15.若三棱锥P−ABC的最长的棱PA=2，且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体积是 ．16

5、.已知数列an满足a1=1，an+1⋅an=2nn∈N*，则S2016= ．三、解答题（共7小题；共91分）17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cosA=13．（1）求cos2B+C2+cos2A的值；（2）若a=3，求△ABC面积的最大值．18.心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：（单位：人）几何题代数题总计男同学22830女同学81220总计302050附表及公式：PK2≥k00.

6、150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d．（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关?（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间为5∼7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间为6∼8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生中被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望EX．19.如图，三棱锥P−ABC中，PB⊥底面AB

7、C，∠BCA=90∘，PB=BC=CA=2，E为PC的中点，点F在PA上，且2PF=FA．（1）求证：BE⊥平面PAC；（2）求直线AB与平面BEF所成角的正弦值．20.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为63，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线2x−2y+6=0相切．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点A，B为动直线y=kx−2k≠0与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点E，使得EA2+EA⋅AB为定值