高考专题 空间几何体的表面积与体积-精品之高中数学（理）---精校解析Word版

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1、第62题空间几何体的表面积与体积I．题源探究·黄金母题【例1】如图，将一个长方体沿相等三个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体的体积的比．【答案】【解析】设长方体的三条棱长分别为，则截出的棱锥的体积为，剩下的几何体的体积，所以II．考场精彩·真题回放【例2】【2014山东理13】三棱锥中，，分别为，的中点，记三棱锥的体积为，的体积为，则________.【答案】【解析】由已知设点到平面距离为，则点到平面距离为，所以，【名师点睛】本题考查三棱锥的几何特征以及几何体的体积.解答本题的关键，是利用等体积法实施转化，用相同的量表示两个体积.本题属于能力题，在考查三棱锥的

2、几何特征以及几何体的体积等基础知识的同时，考查了考生的空间想象能力及运算能力.【例3】【2015江苏高考】现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为___________．【答案】【解析】由体积相等得：＝，解得．【例4】【2015年全国新课标Ⅰ理6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为

3、8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（　　　）A．14斛　　B．22斛　　C．36斛　　D．66斛【答案】B【解析】设圆锥底面半径为，则=，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为，故选B．【例5】【2015四川高考】在三棱住中，，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点分别是的中点，则三棱锥的体积是___________．【答案】【解析】由题意，三棱柱是底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为1的直三棱柱，底面积为.如图，因为，故面，故三棱锥与三棱锥体

4、积相等，三棱锥的底面积是三棱锥底面积的，高为1，故三棱锥的体积为．【例6】【2015年上海高考】若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则___________．【答案】【解析】由条件可知正三棱柱的底面面积为，高为，所以，解得．【例7】【2014江苏理8】设甲，乙两个圆柱的底面面积分别为，体积为，若它们的侧面积相等且，则的值是.【答案】【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为，，则，，又，所以，则.【名师点晴】求空间几何体体积的常用方法(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算．(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等．

5、(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体【例8】【2015江苏高考9】现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为【答案】【解析】由体积相等得：【例9】【2014山东高考】一个六棱锥的体积为，其底面是边长为的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为___________．【答案】【解析】设六棱锥的高为，则.，所以，解得，设斜高为，则所以，该六棱锥的侧面积为．【例10】【2014陕西高考】将边长为1

6、的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为（　　　）A．　　　B．　　　C．　　　D．【答案】【解析】将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周得到的几何体为底面为半径为的圆、高为1的圆柱，其侧面展开图为长为，宽为1，所以所得几何体的侧面积为，故选C．精彩解读【试题来源】人教版A版必修二第28页习题1.3A组第3题【母题评析】本题是计算简单的两个几何体棱柱与棱锥的体积，只要根据几何体的形状正确选择相应几何体的体积公式即可正确作答．但须注意设出长方体的三条棱长参与辅助解答．【思路方法】求简单几何体的体积与表面积主要考虑清楚两点：（1）正确识别几何体的

7、类型；（2）正确选用体积公式与面积公式．【命题意图】本类题通常简单几何体的体积与表面积（侧面积）的计算.【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中档或中档偏下，常常与实际应用或平面图形的旋转相联系.【难点中心】（1）对简单几何体的考查主要围绕体积与表面积的计算，其难度为与实际相结合时，在确定几何体的形状时相对比较困难，特别是实际中提取相关的信息．（2）求锥的体积确定其高是一个难点．III．理论基础·解题原理考点一　棱体的表面积计算棱体（棱柱、棱锥、棱台）的表面积主要是通