三角化简、求值和证明-2019届高考数学（理）提分必备30个黄金考点 ---精校解析Word版

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1、【考点剖析】1.命题方向预测：（1）考查利用三角函数的公式对三角函数式进行化简求值.（2）公式逆用、变形应用是高考热点．（3）题型以选择题、解答题为主.2.课本结论总结：（1）同角三角函数的基本关系①平方关系：sin2α＋cos2α＝1；②商数关系：＝tanα.（2）诱导公式公式一：sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝，其中k∈Z.公式二：sin(π＋α)＝，cos(π＋α)＝，tan(π＋α)＝tanα.公式三：sin(－α)＝，cos(－α)＝.公式四：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝.公式五：＝，＝sinα.公式六：＝，＝诱导公式的记

2、忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式①C(α－β)：cos(α－β)＝；②C(α＋β)：cos(α＋β)＝；③S(α＋β)：sin(α＋β)＝；④S(α－β)：sin(α－β)＝；⑤T(α＋β)：tan(α＋β)＝；⑥T(α－β)：tan(α－β)＝.(4)二倍角的正弦、余弦、正切公式①S2α：sin2α＝；②C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；③T2α：tan2α＝.3.名师二级结论：（1）有关公式的逆用、变形等①tanα±tanβ＝；②cos2α＝，sin2α＝；③1＋sin2α＝(sinα

3、＋cosα)2,1－sin2α＝(sinα－cosα)2，.（2）函数(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定．（3）三种方法在求值与化简时，常用方法有：①弦切互化法：主要利用公式tanα＝化成正、余弦．②和积转换法：利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化．③巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tan＝….（4）三个防范①利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负－脱周－化锐．特别注意函数

4、名称和符号的确定．②在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．③注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．4.考点交汇展示：(1)与三角函数的图象与性质的交汇1.【2017课标3，文6】函数的最大值为（）A．B．1C．D．【答案】A2.【2018届北京市通州区三模】已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求证：当时，.【答案】（1）（2）见解析【解析】（I）解：因为，所以的最小正周期为.（II）证明：因为，所以.所以.所以.所以.(2)与函数的奇偶性、单调性的交汇1.【2018届福建省两大名校一模】将函数的图象向左平移（）个单位长度，所得图象对应的

5、函数为偶函数，则的最小值为(　　)A．B．C．D．【答案】C【解析】，将其图象向左平移（）个单位长度，所得图象对应的解析式为，由于为偶函数，则，则，由于，故当时，.故选：C.2.【2017浙江，18】已知函数f（x）=sin2x–cos2x–sinxcosx（xR）．（Ⅰ）求的值．（Ⅱ）求的最小正周期及单调递增区间．【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）最小正周期为，单调递增区间为．【解析】(3)与一元二次方程的交汇【2016高考上海文数】方程在区间上的解为___________.【答案】【解析】，即，所以，解得或（舍去），所以在区间上的解为.（4）与平面向量的交汇【2017江苏，16

6、】已知向量（1）若a∥b,求x的值；（2）记,求的最大值和最小值以及对应的的值.【答案】（1）（2）时，取得最大值，为3；时，取得最小值，为.（2）.因为，所以，从而.于是，当，即时，取到最大值3；当，即时，取到最小值.【考点分类】考向一利用两角和差的正弦、余弦、正切公式求值1.【2018年理数全国卷II】已知，，则__________．【答案】【解析】2.【2018年江苏卷】已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．【方法规律】两角和与差

7、的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的.(1)运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等．(2)应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和