高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 3_2 导数的应用 第3课时 导数与函数的综合问题教师用书 文 北师大版

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1、“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线第3课时　导数与函数的综合问题题型一　导数与不等式有关的问题命题点1　解不等式例1　设f(x)是定义在R上的奇函数，f(2)＝0，当x>0时，有<0恒成立，则不等式x2f(x)>0的解集是(　　)A．(－2,0)∪(2，＋∞)B．(－2,0)∪(0,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(0,2)答案　D解析　∵当x>0时，′<0，∴φ(x)＝为减

2、函数，又φ(2)＝0，∴当且仅当00，此时x2f(x)>0.又f(x)为奇函数，∴h(x)＝x2f(x)也为奇函数．故x2f(x)>0的解集为(－∞，－2)∪(0,2)．命题点2　证明不等式例2　(2016·全国丙卷)设函数f(x)＝lnx－x＋1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x∈(1，＋∞)时，1<0，f(x)是增加的；当x>1时

3、，f′(x)<0，f(x)是减少的．(2)证明　由(1)知，f(x)在x＝1处取得最大值，最大值为f(1)＝0.所以当x≠1时，lnx

4、素养。永葆底色、不碰底线例3　已知函数f(x)＝.(1)若函数f(x)在区间(a，a＋)上存在极值，求正实数a的取值范围；(2)如果当x≥1时，不等式f(x)≥恒成立，求实数k的取值范围．解　(1)函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＝－，令f′(x)＝0，得x＝1；当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)是增加的；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)是减少的．所以x＝1为极大值点，所以0

5、(x)＝，则g′(x)＝＝.再令h(x)＝x－lnx，则h′(x)＝1－≥0，所以h(x)≥h(1)＝1，所以g′(x)>0，所以g(x)为增函数，所以g(x)≥g(1)＝2，故k≤2.所以实数k的取值范围是(－∞，2]．引申探究本例(2)中若改为：存在x0∈[1，e]，使不等式f(x)≥成立，求实数k的取值范围．解　当x∈[1，e]时，k≤有解，令g(x)＝，由例3(2)解题知，g(x)为增函数，∴g(x)max＝g(e)＝2＋，∴k≤2＋，即实数k的取值范围是(－∞，2＋]．思维升华　(1)利

6、用导数解不等式的思路政德才能立得稳、立得牢。要深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想特别是习近平总书记关于“立政德”的重要论述，深刻认识新时代立政德的重要性和紧迫性。“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线已知一个含f′(x)的不等式，可得到和f(x)有关的函数的单调性，然后可利用函数单调性解不等式．(2)利用导数证明不等式的方法证明f(x)

7、－g(x)，如果F′(x)<0，则F(x)在(a，b)上是减函数，同时若F(a)≤0，由减函数的定义可知，x∈(a，b)时，有F(x)<0，即证明了f(x)

8、若当x≥1时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．解　(1)当a＝－1时，f(x)＝x2lnx＋x2－1，f′(x)＝2xlnx＋3x.则曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为f′(1)＝3.又f(1)＝0，所以切线方程为3x－y－3＝0.(2)f′(x)＝2xlnx＋(1－2a)x＝x(2lnx＋1－2a)，其中x≥1.当a≤时，因为x≥1，所以f′(x)≥0.所以函数f(x)在[1，＋∞)上是增加的．故f(x)≥f(1)＝0.当a>时，令f′(x)＝0，得x＝.若x∈