概率论与数理统计各章疑难解答

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1、第二章疑难分析1、随机变量与普通函数随机变量是定义在随机试验的样本空间上，对试验的每一个可能结果，都有唯一的实数与之对应.从定义可知：普通函数的取值是按一定法则给定的，而随机变量的取值是由统计规律性给出的，具有随机性；又普通函数的定义域是一个区间，而随机变量的定义域是样本空间.2、分布函数的连续性定义左连续或右连续只是一种习惯.有的书籍定义分布函数左连续，但大多数书籍定义分布函数为右连续.左连续与右连续的区别在于计算时，点的概率是否计算在内.对于连续型随机变量，由于，故定义左连续或右连续没有什么区别；对于离散型随机变量，由于，则定义左连续

2、或右连续时值就不相同，这时，就要注意对定义左连续还是右连续.第三章疑难分析1、事件表示事件与的积事件，为什么不一定等于？如同仅当事件相互独立时，才有一样，这里依乘法原理.只有事件与相互独立时，才有，因为.2、二维随机变量的联合分布、边缘分布及条件分布之间存在什么样的关系？由边缘分布与条件分布的定义与公式知，联合分布唯一确定边缘分布，因而也唯一确定条件分布.反之，边缘分布与条件分布都不能唯一确定联合分布.但由知，一个条件分布和它对应的边缘分布，能唯一确定联合分布.但是，如果相互独立，则，即.说明当独立时，边缘分布也唯一确定联合分布，从而条件

3、分布也唯一确定联合分布.3、两个随机变量相互独立的概念与两个事件相互独立是否相同？为什么？两个随机变量相互独立，是指组成二维随机变量的两个分量中一个分量的取值不受另一个分量取值的影响，满足.而两个事件的独立性，是指一个事件的发生不受另一个事件发生的影响，故有.两者可以说不是一个问题.但是，组成二维随机变量的两个分量是同一试验的样本空间上的两个一维随机变量，而也是一个试验的样本空间的两个事件.因此，若把“”、“”看作两个事件，那么两者的意义近乎一致，从而独立性的定义几乎是相同的.第四章疑难分析1、随机变量的数字特征在概率论中有什么意义？知道

4、一个随机变量的分布函数，就掌握了这个随机变量的统计规律性.但求得一个随机变量的分布函数是不容易的，而且往往也没有这个必要.随机变量的数字特征则比较简单易求，也能满足我们研究分析具体问题的需要，所以在概率论中很多的应用，同时也刻画了随机变量的某些特征，有重要的实际意义.例如，数学期望反映了随机变量取值的平均值，表现为具体问题中的平均长度、平均时间、平均成绩、期望利润、期望成本等；方差反映了随机变量取值的波动程度；偏态系数、峰态系数则反映了随机变量取值的对称性和集中性.因此，在不同的问题上考察不同的数字特征，可以简单而切实地解决我们面临的实际

5、问题.2、在数学期望定义中为什么要求级数和广义积分绝对收敛？首先，数学期望是一个有限值；其次，数学期望反映随机变量取值的平均值.因此，对级数和广义积分来说，绝对收敛保证了值的存在，且对级数来说，又与项的次序无关，从而更便于运算求值.而由于连续型随机变量可以离散化，从而广义积分与无穷级数有同样的意义.要求级数和广义积分绝对收敛是为了保证数学期望的存在与求出.3、相关系数反映了随机变量和之间的什么关系？相关系数是用随机变量和的协方差和标准差来定义的，它反映了随机变量和之间的相关程度.当时，称与依概率1线性相关；当时，称与不相关；当时，又分为强

6、相关与弱相关.4、两个随机变量与相互独立和不相关是一种什么样的关系？（1）若、相互独立，则、不相关.因为、独立，则，故，从而，所以、不相关.（2）若、不相关，则、不一定独立.如：因为，，知、不相关.但，,,知、不独立.（3）若、相关，则、一定不独立.可由反证法说明.（4）若、不相关，则、不一定不独立.因为、不独立，，但若时，可以有，从而可以有、不相关.但是，也有特殊情况，如服从二维正态分布时，、不相关与、独立是等价的.