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《华工的研究生-数值分析报告部分的总结》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、实用标准文案数值计算中的误差：模型误差、参数误差、截断误差（方法误差）和舍入误差（计算误差）。截断误差是对参与计算的数学公式做简化可行处理后所产生的误差（用有限过程代替无限过程或用容易计算的方法代替不容易计算的方法），即数学模型的数值解与精确解之间的误差，是计算方法关注的内容。舍入误差是由于计算机只能表示有限位数字，因而只能取有限位数进行计算所得的误差，它也是计算方法关注的内容。绝对误差---近似数x*关于准确数x的绝对误差：E(x)=x－x*（或 E(x*)=x－x*）近似数x*关于准确数x的绝对误差限：｜E(x)｜=｜x－x*｜£h工程上表示准确数
2、x的范围：x*－h£x£x*+h或x=x*±h函数值的绝对误差：E[f(x)]≈f’(x)E(x)（利用微分中值公式导出）相对误差---近似数x*关于准确数x的相对误差：近似数x*关于准确数x的相对误差限：函数值的相对误差限：n位有效数字的近似数x*其相对误差相对误差为精彩文档实用标准文案的近似数x*至少具有n位有效数字。Lagrange插值公式的标准型公式:Newton插值法差商具有如下性质：(2)差商具有对称性,即任意调换节点的次序,差商的值不变精彩文档实用标准文案Newton插值余项：Newton插值的一个性质：Hermite插值法：两点三次He
3、rmite插值：设在节点处的函数值为、，在节点处的一阶导数值为，，精彩文档实用标准文案其余项为：分段低次插值法：分段线性插值函数满足的条件：1.；2.；3.在每一个上，是一次（线性）多项式。分段线性插值的误差估计：分段三次Hermite插值函数的条件：1.；2.；3.在每一个上，是三次多项式。分段三次Hermite插值多项式，其余项为也就是说：精彩文档实用标准文案分段低次插值的特点：优点：计算较容易，可以解决Runge现象,可保证收敛性缺点：但插值多项式分段，插值曲线在节点处会出现尖点,不可导曲线拟合：（利用法方程来解）连续函数的最佳平方逼近插值型求积
4、公式精彩文档实用标准文案(1)式为数值求积公式.Ak为求积系数,且仅与求积节(结)点xk有关此时二者之间不再是约等于，而是等于，两者是精确相等的关系。Newton-Cotes数值求积公式Newton-Cotes公式是指等距节点下使用Lagrange插值多项式建立的数值求积公式n阶Newton-Cotes求积公式：Newton-Cotes公式的余项(误差)：是Cotes系数。Newton-Cotes公式化为：代数精度：(1).梯形(trapezia)公式及其余项（梯形(trapezia)公式具有1次代数精度）(2).Simpson公式及其余项（Simps
5、on公式具有3次代数精度）精彩文档实用标准文案常用的NC公式：Cotes系数的性质:Newton-Cotes公式的稳定性(舍入误差)，则则，此时，误差是可以控制的复化求积法：复化梯形公式：复化Simpson公式：精彩文档实用标准文案单纯的求积公式复化求积公式的每个小区间高斯公式求积公式：高斯点一定不包括区间的端点。线性方程组直接解法：高斯(Gauss)消去法：由消元过程和回代过程构成.基本思想：用矩阵行的初等变换将方程组系数矩阵A约化为简单三角形矩阵,然后回代求解.顺序Gauss消去法的乘除法运算总的次数为：高斯(Gauss)消去（元）过程是在假定的条
6、件下进行的。Gauss列主元消去法：列主元的意义：为了提高计算精度；为了提高公式的数值稳定性。列主元消去过程：在消去过程的第k步，先从A（k）的第k列中的及以下的元素中选出新的主元素，使得当时，将第k行与第行交换后接着开始消元。矩阵的三种形式的分解：精彩文档实用标准文案Doolittle分解:A=LU(单位下三角与上三角)Crout分解:(下三角与单位上三角)LDU分解:A=LDU(单位下三角,对角及单位上三角)则称A为严格对角占优，且至少有一个严格不等号，则称A为弱对角占优A为对角占优，这可以用追赶法求得。精彩文档实用标准文案(谱半径有界)设,则对任
7、一种算子范数,均有设,则的充要条件是B的谱半径1方程组的病态程度可由系数矩阵A(非奇异)的条件数,其值越大越是病态。：即：精彩文档实用标准文案定理6.3若A为严格对角占优阵，则Jacobi迭代法和G-S迭代法收敛。定理6.4若A为对称正定阵，则G-S迭代法收敛。若要求Jacobi迭代法也收敛，则要加上2D-A也是对称正定阵。超松弛迭代法(SOR)：精彩文档实用标准文案非线性方程求解：常用的求根方法分为区间法和迭代法两大类。定理1.(根的存在定理)假设函数y=f(x)ÎC[a,b],且f(a)·f(b)<0,则至少存在一点xÎ(a,b)使得f(x)=0.
8、(并称区间(a,b)为有根区间)定理2.假设函数y=f(x)在[a,b]上单调连续,且f(a)
