《数学分析》中极限问题及浅析

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1、齐齐哈尔大学成人高等教育毕业设计（论文）用纸《数学分析》中极限问题的浅析极限理论是数学分析这门学科的基础，极限方法是数学分析的基本方法，通过极限思想、借助极限工具使数学分析内容更加严谨，可以说，极限贯穿整个数学分析的始末，学好极限十分重要。完整的极限理论的建立，依赖于实数的基本性质，即实数系的所谓连续性，我们已经熟悉的单调有界原理，就是连续性的一个等价命题。极限问题类型很多，变化复杂，解决极限问题在数学分析中更显得尤为重要。这里举一些比较典型的实例，希望从中归纳出解决极限问题的方法。下面举例说明求解极限问题的若

2、干方法，其主要是根据极限的定义、运算法则和性质、定理，以及数学上的其他知识和技巧。一求数列极限（一）利用迫敛性定理求极限首先说明迫敛性定理[1]求极限，这是一种简单而常用的方法。lim例1、证明（1）(a>0)lim（2）证明：（1）当a=1时，等式显然成立。(hn>0)当a>1时，令则：a=(1+hn)n=1+nhn+由迫敛性定理故00（2）设-11-齐齐哈尔大学成人高等教育毕业设计（论文）用纸n=(1+h

3、n)n=1+nhn+即：0lim由迫敛性定理得hn=0(1+hn)=1limlim从而：lim例：求极限令即：en由迫敛性定理可得：lim从而：由连续函数定义知：lim极限定义是判定极限是某个数的充要条件，因此有时要用到它的否定形式[2]，现叙述如下：（二）单调有界原理求极限单调有界原理是判定极限存在的重要法则，虽然它不能判定极限是什么数，但许多问题当断定极限存在时，极限值是不难求出的。-11-齐齐哈尔大学成人高等教育毕业设计（论文）用纸例：单调数列收敛于a的充要条件是存在子列使得a证：不妨设设是单调

4、递增数列，必要性显然。则：充分性：若对任意的，存在k0，当k≥k0时：1Xnka1=aXnk<当n≥nk时：有此即为：例：设lim收敛，并求求证xnlim证：当x0=0时显然xn=0(n=1.2.…)故：xn=0……故可得：故xn是单调有上界的函数，从而收敛。lim记a=xn-11-齐齐哈尔大学成人高等教育毕业设计（论文）用纸由于又由于方程lim从而所以lim当例：设a>0,xn(n=1、2、……)为由以下各式：(n=0、1、2，……)x0>0,lim所确定的数列，求证证：由假设x0>0,又由算术平均数和几何平

5、均数之间的关系得：（n=1、2、……）（n=1、2、……）lim由单调有界原理，则：将lim从上面几个例子中看出，在某些数列的极限问题中，由数列各项间的递推关系，由单调有界定理可以比较巧妙地证明极限的存在。并计算出极限。-11-齐齐哈尔大学成人高等教育毕业设计（论文）用纸（三）柯西收敛准则求极限下面举例说明柯西收敛准则[4]的应用。证明数列xn是收敛的。证明：（n=1、2……）（n=1、2……）可归纳得到：对任意的m>n,故：xn是柯西数列，从而它是收敛的。例：判断数列解：设m>n,这时：10m-n=10n+1

6、>2(N+1)由柯西收敛准则，知数列an发散。-11-齐齐哈尔大学成人高等教育毕业设计（论文）用纸柯西收敛准则在证明极限的存在性上有很重要的意义，在此，给出柯西收敛准则的否定形式，便于应用。柯西收敛准则否定形式：有正整数mN,nN存在，尽管mN,nN>N,（四）定积分求极限由于定积分[5]是积分和的极限，故此，某些和式问题可以化为定积分的计算，使运算得以完成。在这里，仅举几例，来说明这种求极限的方法。-11-齐齐哈尔大学成人高等教育毕业设计（论文）用纸（n等分.取右端点）。在运用这一方法时，要巧妙转化，找出其积

7、分原型，并发现其积分区间，（一般为[0，1]），恰当的转化，可使问题简化。（五）施笃兹定理求极限定理[6]，下面给出定理和它的两个难论：定理：（stolz定理）1)存在N0为自然数，当n>N0时，yn+1>y递增.-11-齐齐哈尔大学成人高等教育毕业设计（论文）用纸解：由stolz定理：从而-11-齐齐哈尔大学成人高等教育毕业设计（论文）用纸二、求函数极限在前面，我们主要针对数列极限的求解作了详细地论述，接下来，我们来看一下函数极限与数列极限的联系。一般函数的极限可以归结为数列的极限。（一）罗毕塔法则求极限（二

8、）利用两个重要极限求极限在函数极限的证明和计算中，除可以用以上各种方法外还可用其他方法。如利用两个重要极限，进行计算：-11-齐齐哈尔大学成人高等教育毕业设计（论文）用纸（三）求分段函数的极限对于分段函数[9]的极限，在讨论此类极限的存在时，要先求出分段点处的左右极限，再由此进行判断该点的极限是否存在。在本文的最后，给出函数极限的施笃兹定理：设T为正常数，若函数-11-齐齐哈尔大学成人