条空间曲线每一正常点都有切线

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1、空间两曲线的基本向量之间的关系一条空间曲线每一正常点都有切线、主法线、副法线，与之相对应的基本向量为单位切向量、单位主法向量、单位副法向量，下面就空间两曲线对应点的切向量（）、主法向量（）、副法向量（）以及该点的曲率()、绕率()之间的关系来讨论研究。由伏雷内公式，有　　　　　　　　　　　（一）　假设两曲线建立了一一对应关系，一曲线为：分别为其切向量、主法向量、副法向量，简记。另一曲线为：分别为其切向量、主法向量、副法向量，简记。两曲线的曲率分别为、，简记；两曲线的绕率分别为，简记；一参数，简记为，其中分别为

2、的自然参数。探究空间两曲线的基本向量之间的关系，即讨论一条曲线的切向量、主法向量、副法向量在对应点处与另一条曲线切向量、主法向量、副法向量之间的平行、重合、定夹角的位置关系存在的结论。探究命题1若曲线与的对应点的切线平行，即有（），则它们对应点的主法线、副法线也平行，且。证明：因为，两边关于求导得(1)于是，又，从而，因此它们对应点的主法线、副法线也平行；令-9-空间两曲线的基本向量之间的关系()(2)则有，即。两边关于求导得，即得(3)由式（1），（2）得(4)又得，得证综上所述，命题得证。探究命题2若曲线

3、与在对应点的主法线平行，即（），则对应点的切线夹角为定值。分析：从结论出发，若对应点的切线夹角为定值，则的点积为常数，从而考虑对求导的值是否为零。证明：因为，而，则于是，即，由此说明在对应点的切线夹角为定值。探究命题3若曲线与在对应点的副法线平行，即（-9-空间两曲线的基本向量之间的关系）则在对应点的切线，主法线也平行，且（）。证明：因为，两边关于求导，得(5)于是，令（）（6）又，从而，因此因此它们对应点的切线、主法线也平行；令（）两边关于求导得（7）由式（5）、（6）得（8）由式（6）、（7）得（9）又得

4、（），得证综上所述，命题得证。探究命题4若曲线与在对应点切线重合,则这两曲线不存在。证明：假设存在这样的两条曲线，则：，两边关于求导得-9-空间两曲线的基本向量之间的关系两边点积得，即。若，则，两曲线重合;若，则表示两重合直线，所以命题得证。探究命题5若曲线与在对应点主法线重合，则这两曲线为曲线。证明：由曲线定义可知。探究命题6曲线与在对应点副法线不可能重合。证明：假设曲线与在对应点副法线重合，令：，两边关于求导得（10）式（10）两边点积得，即常数。于是，两边关于求导得两边点积得，由于，所以，矛盾，这说明只

5、有平面曲线才有可能是命题成立，从而命题得证。探究命题7-9-空间两曲线的基本向量之间的关系若曲线的切线与的对应点的主法线平行,则。证明：由条件可设（），两边关于求导得两边平方得，命题得证。探究命题8若曲线的主法线与的对应点的副法线平行，则。证明：由条件令（）两边关于求导得两边平方得，命题得证。探究命题9若曲线的副法线与的对应点的切线平行，则。证明：由条件令（），两边关于求导得两边平方得（11）类似得到-9-空间两曲线的基本向量之间的关系（12）式得，即，命题得证。探究命题10若曲线的主法线与的对应点副法线重合

6、，则（常数）。证明：由条件可设：，两边关于求导得两边点积得，即常数。于是，两边关于求导得两边点积得，即，命题得证。探究命题11若曲线的切线与的对应点的主法线重合,则(1)两曲线的切线夹角的余弦值为或;(2)。证明：由条件可设：,两边关于求导得（13）-9-空间两曲线的基本向量之间的关系两边点积得,即，从而（1）的前半部得证。式（13）关于求导得两边点积得，由此（1）的后半部得证。式（13）两边平方得，由此（2）得证。探究命题12若曲线切线与的对应点切线夹角为定值，则。证明：由条件可设，其中为定角。两边关于求导

7、得即，命题得证。探究命题13若曲线的主法线与对应点的主法线成定角，则。证明：由条件可设，其中为定角，两边关于求导得即，命题得证。-9-空间两曲线的基本向量之间的关系探究命题14若曲线的副法线与对应点的副法线成定角，则。证明：由条件可设，其中为定角，两边关于求导得即，命题得证。探究命题15若曲线的切线与对应点的主法线成定角，则。证明：由条件可设，其中为定角，两边关于求导得即，命题得证。探究命题16若曲线的主法线与对应点的副法线成定角，则。证明：由条件可设，其中为定角，两边关于求导得-9-空间两曲线的基本向量之间

8、的关系即，命题得证。探究命题17若曲线的副法线与对应点的切线成定角，则。证明：由条件可设，其中为定角，两边关于求导得即，命题得证。-9-