微分法在几何上的应用

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1、章节题目第六节微分法在几何上的应用内容提要曲线的切线与方程法平面方程曲面的切平面方程与法线方程重点分析曲线的切线方程与曲面的切平面方程的求法难点分析曲线以一般方程形式给出时切线方程的求法习题布置2、4、6、10备注7教学内容一、空间曲线的切线与法平面设空间曲线的方程(1)式中的三个函数均可导.割线的方程为考察割线趋近于极限位置——切线的过程上式分母同除以曲线在M处的切线方程切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.7法平面：过M点且与切线垂直的平面.例：求曲线，,在处的切线和法平面方程.解当时，切线方程法平面方程特殊地：1.空间曲线方程为法平面方程为2.

2、空间曲线方程为切线方程为法平面方程为例2求曲线，在点处的切线及法平面方程.解1直接利用公式;解2将所给方程的两边对求导并移项，得7由此得切向量所求切线方程为法平面方程为二、曲面的切平面与法线设曲面方程为在曲面上任取一条通过点M的曲线曲线在M处的切向量令则由于曲线是曲面上通过的任意一条曲线，它们在的切线都与同一向量垂直，故曲面上通过的一切曲线在点7的切线都在同一平面上，这个平面称为曲面在点的切平面.切平面方程为通过点而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线.法线方程为垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.曲面在M处的法向量即特殊地：空间曲面方程形为令

3、曲面在M处的切平面方程为曲面在M处的法线方程为全微分的几何意义因为曲面在M处的切平面方程为切平面上点的竖坐标的增量在的全微分，表示曲面在点处的切平面上的点的竖坐标的增量.若、、表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它与轴的正向所成的角是锐角，则法向量的方向余弦为7其中例3求旋转抛物面在点处的切平面及法线方程.解切平面方程为法线方程为例4求曲面在点处的切平面及法线方程.解令切平面方程法线方程例5求曲面平行于平面的各切平面方程.解设为曲面上的切点,切平面方程为7依题意，切平面方程平行于已知平面，得因为是曲面上的切点，满足方程所求切点为

4、切平面方程(1)切平面方程(2)三、小结空间曲线的切线与法平面（当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用推导法）曲面的切平面与法线（求法向量的方向余弦时注意符号）思考题如果平面与椭球面相切，求.思考题解答设切点依题意知切向量为切点满足曲面和平面方程7