实验4导数的应用(基础实验

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1、实验一一元函数微分学实验4导数的应用（基础实验）实验目的理解并掌握用函数的导数确定函数的单调区间、凹凸区间和函数的极值的方法.理解曲线的曲率圆和曲率的概念.进一步熟悉和掌握用Mathematica作平面图形的方法和技巧.掌握用Mathematica求方程的根(包括近似根)和求函数极值(包括近似极值)的方法.基本命令1.求多项式方程的近似根的命令Nsolve和Nroots命令Nsolve的基本格式为Nsolve[f[x]==0,x]执行后得到多项式方程的所有根(包括复根)的近似值.命令NRoots的基本格式为NRoots[f[x]==0,x,n]它同样给出方程所有根的近似值.但是二者表示方法不

2、同.在命令NRoots的后面所添加的选项n,要求在求根过程中保持n位有效数字;没有这个选项时,默认的有效数字是16位.2.求一般方程的近似根的命令FindRoot命令的基本格式为FindRoot[f[x]==0,{x,a},选项]或者FindRoot[f[x]==0,{x,a,b},选项]其中大括号中x是方程中的未知数,而a和b是求近似根时所需要的初值.执行后得到方程在初值a附近,或者在初值a与b之间的一个根.方程的右端不必是0,形如的方程也可以求根.此外,这个命令也可以求方程组的近似根.此时需要用大括号将多个方程括起来,同时也要给出各个未知数的初值.例如,FindRoot[{f[x,y]=

3、=0,g[x,y]==0},{x,a},{y,b}]由于这个命令需要初值,应先作函数的图形,确定方程有几个根,以及根的大致位置,或所在区间,以分别输入初值求根.命令的主要选项有:(1)最大迭代次数:MaxIterations->n,默认值是15.(2)计算中保持的有效数字位数:WorkingPrecision->n,默认值是16位.3.求函数极小值的近似值的命令FindMinimum命令的基本格式为FindMinimum[f[x],{x,a},选项]执行后得到函数在初值a附近的一个极小值的近似值.这个命令的选项与FindRoot相同,只是迭代次数的默认值是30.如果求函数的极大值的近似值,可

4、以对函数用这个命令.不过,正确的极大值是所得到的极小值的相反的数.使用此命令前,也要先作函数的图形,以确定极值的个数与初值.4.作平面图元的命令Graphics如果要在平面上作点、圆、线段和多边形等图元,可以直接用命令Graphics,再用命令Show在屏幕上显示.例如,输入21g1=Graphics[Line[{{1,-1},{6,8}}]]Show[g1,Axes->True]执行后得到以(1,-1)和(6,8)为端点的直线段.实际上Show命令中可以添加命令Graphics的所有选项.如果要作出过已知点的折线,只要把这些点的坐标组成的集合放在命令Line[]之内即可.如输入Show[G

5、raphics[Line[{{0,0},{1,2},{3,-1}}]],Axes->True]输出为图4.1.图4.1实验举例求函数的单调区间例4.1(指导书例4.1)求函数的单调区间.输入f1[x_]:=x^3-2x+1;Plot[{f1[x],f1'[x]},{x,-4,4},PlotStyle->{GrayLeve1[0.01],Dashing[{0.01}]}]则输出图4.2.图4.2图4.2中的虚线是导函数的图形.观察函数的增减与导函数的正负之间的关系.再输入Solve[f1'[x]==0,x]则输出21即得到导函数的零点.用这两个零点,把导函数的定义域分为三个区间.因为导函数连

6、续,在它的两个零点之间,导函数保持相同符号.因此,只需在每个小区间上取一点计算导数值,即可判定导数在该区间的正负,从而得到函数的增减.输入f1'[-1]f1'[0]f1'[1]输出为1,-2,1.说明导函数在区间上分别取+,-和+.因此函数在区间和上单调增加,在区间上单调减少.求函数的极值例4.2(指导书例4.2)求函数的极值.输入f2[x_]:=x/(1+x^2);Plot[f2[x],{x,-10,10}]则输出图4.3.图4.3观察它的两个极值.再输入Solve[f2'[x]==0,x]则输出{{x->-1},{x->1}}即驻点为用二阶导数判定极值,输入f2''[-1]f2''[1]

7、则输出1/2与-1/2.因此是极小值点,是极大值点.为了求出极值,再输入f2[-1]f2[1]输出-1/2与1/2.即极小值为-1/2,极大值为1/2.求函数的凹凸区间和拐点例4.3求函数的凹凸区间和拐点.输入f3[x_]:=1/(1+2x^2);21Plot[{f3[x],f3''[x]},{x,-3,3},PlotRange->{-5,2},PlotStyle->{GrayLeve1[0.01],Dash