计算的极限(二)：自我指涉与不可判定comm

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1、计算的极限（二）：自我指涉与不可判定Comments>>方弦发表于2012-12-1214:04

2、Tags标签：原创,图灵,数学,计算的极限计算无处不在。走进一个机房，在服务器排成的一道道墙之间，听着风扇的鼓噪，似乎能嗅出0和1在CPU和内存之间不间断的流动。从算筹算盘，到今天的计算机，我们用作计算的工具终于开始量到质的飞跃。计算机能做的事情越来越多，甚至超越了它们的制造者。上个世纪末，深蓝凭借前所未有的搜索和判断棋局的能力，成为第一台战胜人类国际象棋世界冠军的计算机，但它的胜利仍然仰仗于人类大师赋予的丰富国际象棋

3、知识；而仅仅十余年后，Watson却已经能凭借自己的算法，先“理解”问题，然后有的放矢地在海量的数据库中寻找关联的答案。长此以往，工具将必在更多的方面超越它的制造者。而这一切，都来源于越来越精巧的计算。计算似乎无所不能，宛如新的上帝。但即使是这位“上帝”，也逃不脱逻辑设定的界限。第一位发现这一点的，便是图灵。《计算的极限》系列矛盾的自我指涉在现实中，证明某种东西不存在是非常困难的。要证明某种东西存在，只要举出一个例子就可以了；但要证明某种东西不存在，就要想办法排除所有的可能性，而在现实生活中，这几乎是不可能的。所以

4、，只要能排除那些比较主要的可能性，任务就算完成。但在数学中，情况大不相同：通过形式逻辑的方法，我们可以确实地证明某种数学对象不存在。这都要归功于数学那彻底的抽象化和形式化。数学家在证明某个数学对象不存在的时候，经常会来一招“欲擒故纵”：首先假设它存在，那么它必然具有某些特定的性质，再利用这些性质，用严密的逻辑推理引出一个不可能的结论。既然结论是不可能的，而逻辑推理又没有问题，那么一定是推理的出发点出了差错：作为推理基础的那个东西，其实并不存在。这种证明方法，就是反证法。现在，我们尝试用反证法证明停机问题是不可计算的

5、。按照反证法的格式，我们先反其道而行之，假设停机问题是可以计算的。根据定义，这说明存在一台图灵机P，使得向它输入某个图灵机M的状态转移表编码，以及初始输入I，图灵机P就能在有限步运算内，判断出机器M在输入I上是否会停止。接下来，我们将要用图灵机P构造一个逻辑上不可能存在的结构，这将是证明的关键。我们来考虑一个新的图灵机R，它的输入是某个图灵机M的状态转移表编码。图灵机R先“调用”图灵机P，判断图灵机M在初始输入上是否会停止。用现代的计算机语言来说，就相当于调用函数P(,)。如果图灵机P得出的

6、结论是机器M在输入上会停止的话，图灵机R接下来就会进入死循环；否则，如果机器M在输入上不会停机的话，图灵机R就停止。图灵机R的构造有两个奇怪之处。首先，在图灵机R的运作中，它尝试判断一台图灵机M在它自身的编码上的运作情况。此时，图灵机M不仅是程序，同时也是数据。这提醒我们，其实程序和数据没有实质的区别。程序只是一种特殊的数据，能够被分析、整理、改写。事实上，我们每天都在使用处理程序的程序。比如说杀毒软件，其实就是一种扫描程序的程序。它检查每个程序的内容，判断程序中有没有威胁计算机安全的恶意代码。用

7、杀毒软件扫描它自身，实际上就是让这个程序运作在它自身的代码之上。我们也可以用记事本打开记事本的程序本身，或者用压缩软件打一个包含它程序本身的压缩包。这些例子都说明了一个道理：程序就是一种数据。正因为程序就是数据，我们才得以完成图灵机的自我指涉。其次，在图灵机R的构造中，如果M在输入上停机，那么R就不停机；如果M在输入上不停机，那么R就停机。这就是说谎者悖论的翻版：它的行为要与自己的判断相悖。这样，我们就凑齐了说谎者悖论的两个要素：自我指涉和自我否定。剩下的，就是如何将这两个要素组合在一起，引出不可调和的

8、矛盾了。为了引出矛盾，我们来考虑图灵机R在自己的编码上的运行情况。如果R在上停机的话，R必定没有进入死循环。所以，在调用图灵机P时，得到的必然是“图灵机R在输入上不会停机”，才能避免死循环。但图灵机P的这个结论不符合我们的假设，出现了逻辑矛盾，所以R不可能在上停机。如果R在上不停机的话，因为图灵机P必定在有限时间内完成计算，所以R必定进入了死循环。而R进入死循环的先决条件是，在调用图灵机P时，得到的是“图灵机R在输入上停机”。而图灵机P的这个结论，同样不符合我们的假设。由于同样的

9、逻辑矛盾，R同样不可能在上不停机。所以，根据严密的逻辑，我们构造的图灵机R在自己的编码上，既不可能停机又不可能不停机，这是不可能的。另一方面，我们的逻辑推理也是没有问题的。尽管多么不情愿，剩下的可能性只有一种：我们假设的那个能完美解决停机问题的图灵机P，根本不存在！也就是说，停机问题是不可计算的。。【感谢neko（@iNEKO_mini）提供图片