定积分的应用(17)

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1、考研高等数学基础班讲义§3.4定积分的应用一、平面图形的面积1.直角坐标系模型Ⅰ　其中模型Ⅱ　其中注：复杂图形分割为若干个小图形，使其中每一个符合模型Ⅰ或模型Ⅱ加以计算，然后再相加．【例l】求星形线所围图形的面积解用参数方程,＝.＝＝【例2】　求曲线在点处法线与曲线所围成图形的面积3.4.7考研高等数学基础班讲义解　　先找出法线方程，法线方程曲线和法线的另一交点为所求面积2．极坐标系模型Ⅰ　模型Ⅱ　3．参数形式表出的曲线所围成的面积设曲线C的参数方程　，，在（或）上有连续导数，且不变号，且连续则曲边梯形面积（曲线C与直线，和x轴所围

2、成)二、平面曲线的弧长(数学一和数学二)1．直角坐标系3.4.7考研高等数学基础班讲义设光滑曲线，(a≤x≤b)[也即y(x)有连续的导数]弧长　　　　　　　而也称为弧微分2.极坐标系设光滑曲线，（）［在上有连续导数］弧长　　　　　3．参数方程所表曲线的弧长设光滑曲线C　　　　　［，在上有连续的导数］曲线C的弧长　　【例1】　求星形线周长解　星形线的参数方程周长【例2】　求心形线的周长解　　三、特殊的空间图形的体积1．已知平行截面面积的立体体积．设空间一个立体由一个曲面和垂直于z轴两平面z=c和z=d所围成，z轴每一点z(c≤z≤d

3、)且垂直于z轴的立体截面的面积S(z)为已知的连续函数．则立体体积3.4.7考研高等数学基础班讲义2.绕坐标轴旋转的旋转体体积(1)平面图形由曲线(≥O)与直线，和x轴围成绕x轴旋转一周的体积；绕y轴旋转一周的体积(2)平面图形由曲线(≥O)与直线，和y轴围成绕y轴旋转一周的体积。绕x轴旋转一周的体积【例1】　求由曲线和直线，，所围平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积.解一　平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体体积平面图形绕轴旋转一周所得旋转体体积所求体积　　　　　解二　　　3.4.7考研高等数学基础班讲义　　　　　　　　　　　　3.

4、4.7考研高等数学基础班讲义【例2】　设是由抛物线和直线及所围成的平面区域；是由抛物线的直线所围成的平面区域，其中。（1）　试求绕轴旋转而成的旋转体体积；绕轴而成的旋转体体积（如图）。（2）　问当为何值时，取得最大值？试求此最大值。解　（1），（2）.由，得区间　内的惟一驻点.又，因此是极大值点，也是最大值点.此时的最大值为.四、绕坐标轴旋转的旋转曲面的面积(数学一和数学二)设平面曲线位于x轴上方．它绕x轴一周所得旋转曲面的面积为S．1.设的方程为　　（a≤x≤b）3.4.7考研高等数学基础班讲义则　2.设的极坐标方程为　　（α≤θ

5、≤β）则　3.设的参数方程为，　　（α≤t≤β）则　4.设以弧长S为参数的参数方程，　　（0≤s≤l）则　【例1】　求下列旋转面的面积（1）围成的图形绕轴旋转所得曲面；（2）绕极轴旋转所成曲面。解　　（1）该旋转面的面积　　　　（2）这是心形线，则，曲线判刑极轴对称，在极轴上方部分，于是它绕极轴转所成曲面的面积为，于是3.4.7考研高等数学基础班讲义［注：］五、几何应用的证明题【例1】　设在上连续，在内，证明，且惟一，使得，所围面积是所围面积的三倍。证令∵由连续函数介值定理的推论可知，使再由，可知的单调增加性，则惟一3.4.7