定积分及其应用(17)

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1、第五章定积分及其应用第一节定积分的概念一、问题提出1、曲边梯形面积(1)曲边梯形:由连续曲线,、轴与两条直线、所围成.(2)计算曲边梯形面积的思路：用矩形面积近似取代曲边梯形面积.显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边梯形面积．图形>with(student):rightbox(x^2,x=0..1,5,color=MAGENTA);leftbox(x^2,x=0..1,60,color=MAGENTA);(3)计算曲边梯形面积如图：在区间内任意插入若干个分点，把区间分成个小区间长度为,在每个小区间上任取一点,以为底,为高的小矩形面积为,曲边梯形面积的近似值为,当分

2、割变细即小区间的最大长度时,有.2、变速直线运动的路程(1)路程问题:设某物体作直线运动,已知速度是时间间隔上的一个连续函数,且,求物体在这段时间内所经过的路程.(2)计算思路：把整段时间分割成若干小段,每小段上速度看作不变,求出各小段的路程再相加,便得到路程的近似值,最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值.(3)计算变速直线运动的路程在区间内任意插入若干个分点，把区间分成个小区间长度为,在每个小区间上任取一时刻,以为时的速度近似代替上的平均速度,得到相应路程的近似值,物体运动路程的近似值为,当分割变细即小区间的最大长度时,有.二、定积分定义1、积分和(1)区

3、间的分割：将分成个小区间,:.注:可以有无穷多,而且不一定是等分的.(2)分割的细度：.显然:,(3)区间中的介点：任取的,用表示取定的一组介点.(4)在上关于及的部分和：2、定积分的定义设在上有界,为一常数.若,,恒有则：(1)称在上可积,记作.(2)称为在上的定积分,记作,即.其中：①称为被积函数；②称为被积表达式.③称为积分变量,④、称为积分上、下限；⑤称为积分区间.注：(1)积分变量也可以换成其他字母如、等等,即.(2)规定①；②,.3、定积分的几何意义：由曲线、直线、及围成的曲边形的面积.4、定积分存在定理(1)定理：设在上有界,只有有限个间断点,则.(证

4、明略,可参看华东师范大学《数学分析》)(2)推论:①.②.例1计算.解：(1)令,因此.(2)取为的等分.此时有,,(3)取于是(4).其中：.这是由于,有从而,那么.第二节定积分的性质一、定积分的性质假设以下各函数都是可积的，且.(1-4对也成立)1、.证明：.2、,(为常数).证明：.3、.证明：(1)先假设.设与是与的分割,那么与联合起来构成了的分割.于是(2)若,有于是.(3)若,同(2)可证.4、.证明：.5、若,则.注：若在连续非负且不恒为零,则.证明：因,而,于是,所以.推论：(1)若,则.证明：因,于是，所以.(2).证明：因,于是,所以.例2比较积

5、分值和的大小.解：因,,.6、设与为在上的最大值与最小值,则.证明：因,所以.例3估计积分的值.解：7、积分中值定理(1)定理：设,则,.证明：因,在上存在最大值与最小值,于是或由连续函数介值定理知：,,即.二、几何意义在区间上至少存在一个点,使得以区间为底边，以曲线为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为的一个矩形的面积。三、函数的平均值设,那么称为函数在区间上的平均值.例如,速度为的物体在时间间隔上的平均速度为.第三节微积分基本公式一、路程与速度的关系二、变上限积分1、变上限积分函数:,此处.2、定理：设,则,且.证明：,取.由条件知,所以.3、推论：设,则在上

6、存在原函数.三、微积分基本公式1、定理：设,为的原函数,则此公式称为牛顿-莱布尼兹公式.注：此式对也成立.证明：因,那么是的原函数.又因为的原函数,故,.所以.2、应用例1计算.解：因,因此是的一个原函数,所以.例2.例3.例4设求.解：.例5计算曲线在上与轴所围成的平面图形的面积.解：.例6设,则,.证明：令,由于,且,,那么,,所以.例7以速度行驶的汽车从某处以等加速度开始刹车至停止,求此期间汽车驶过的距离.解：(1)设开始刹车时,已知，且；(2)由于,于是,这样；(3)当汽车停止时,那么,由,得；(4)此期间汽车驶过的距离为.例8设且,,证明:.证明:,由于,

7、,,而,,于是所以.例9求.解：,.第四节定积分的换元法一、定积分的换元法1、换元公式设,,,,,此处或,则.或：证明：设为在上的原函数,.又,，从而为在上的原函数,所以.例1计算.解:令,,那么,,.于是.例2计算.解:令,,那么,,.于是.例3计算.解:由于,所以.例4..2、特殊函数定积分计算(1)设,且为偶函数,则.证明：令,,.注意到,则.所以.(2)设,且为奇函数,则.证明：令,,.注意到,则.所以.(3)设函数以为周期,且,则,恒有.证明：因,所以.例5计算.(4)若,则.证明：令,,,.则.(5)若,则.证明：令,,,.则,所以.例6..例7设求