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1、讲授内容§9.1曲线的切线与法平面教学目的与要求：会利用多元函数微分学的知识求空间曲线的切线和法平面.教学重难点：重点—空间曲线的切向量和切线与法平面方程难点—空间曲线的切向量教学方法：讲练结合教学法教学建议：在求面交式空间曲线的切向量的两种方法中，最好用法一.学时：1学时教学过程设空间曲线G的参数方程为x=j(t),y=y(t),z=w(t)这里假定j(t),y(t),w(t)都在[a,b]上可导.在曲线G上取对应于t=t0的一点M0(x0,y0,z0)及对应于t=t0+Dt的邻近一点M(x0+Dx,y0+Dy,z0+Dz).作曲线的割线MM0,其方程为,当点M
2、沿着G趋于点M0时割线MM0的极限位置就是曲线在点M0处的切线.考虑,当M®M0,即Dt®0时,得曲线在点M0处的切线方程为第九章第32页.曲线的切向量:切线的方向向量称为曲线的切向量.向量T=(j¢(t0),y¢(t0),w¢(t0))就是曲线G在点M0处的一个切向量.法平面:通过点M0而与切线垂直的平面称为曲线G在点M0处的法平面,其法平面方程为j¢(t0)(x-x0)+y¢(t0)(y-y0)+w¢(t0)(z-z0)=0.例1求曲线x=t,y=t2,z=t3在点(1,1,1)处的切线及法平面方程.解因为xt¢=1,yt¢=2t,zt¢=3t2,而点(1,1
3、,1)所对应的参数t=1,所以T=(1,2,3).于是,切线方程为,法平面方程为(x-1)+2(y-1)+3(z-1)=0,即x+2y+3z=6.讨论:1.若曲线G的方程为y=j(x),z=y(x).问其切线和法平面方程是什么形式?提示:曲线方程可看作参数方程:x=x,y=j(x),z=y(x),切向量为T=(1,j¢(x),y¢(x)).2.若曲线G的方程为F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0.问其切线和法平面方程又是什么形式?第九章第32页提示:两方程确定了两个隐函数:y=j(x),z=y(x),曲线的参数方程为x=x,y=j(x),z=y(x),由方程
4、组可解得和.切向量为.例2求曲线x2+y2+z2=6,x+y+z=0在点(1,-2,1)处的切线及法平面方程.解为求切向量,将所给方程的两边对x求导数,得,解方程组得,.在点(1,-2,1)处,,.从而T=(1,0,-1).所求切线方程为,法平面方程为(x-1)+0×(y+2)-(z-1)=0,即x-z=0.解为求切向量,将所给方程的两边对x求导数,得第九章第32页.方程组在点(1,-2,1)处化为,解方程组得,.从而T=(1,0,-1).所求切线方程为,法平面方程为(x-1)+0×(y+2)-(z-1)=0,即x-z=0.作业：P10413,14教学后记:复习思
5、考题：求曲线在点处的切线及法平面方程.第九章第32页讲授内容§9.2曲面的切平面与法线教学目的与要求：会利用多元函数微分学的知识求空间曲面的切平面和法线.教学重难点：重点—曲线的切向量和切线与法平面方程难点—曲线的切向量教学方法：讲练结合教学法教学建议：在求面交式空间曲线的切向量的两种方法中，最好用法一.学时：1学时教学过程设曲面S的方程为F(x,y,z)=0,M0(x0,y0,z0)是曲面S上的一点,并设函数F(x,y,z)的偏导数在该点连续且不同时为零.在曲面S上,通过点M0任意引一条曲线G,假定曲线G的参数方程式为x=j(t),y=y(t),z=w(t),t
6、=t0对应于点M0(x0,y0,z0),且j¢(t0),y¢(t0),w¢(t0)不全为零.曲线在点的切向量为T=(j¢(t0),y¢(t0),w¢(t0)).考虑曲面方程F(x,y,z)=0两端在t=t0的全导数:Fx(x0,y0,z0)j¢(t0)+Fy(x0,y0,z0)y¢(t0)+Fz(x0,y0,z0)w¢(t0)=0.引入向量n=(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)),易见T与n是垂直的.因为曲线G是曲面S上通过点M0的任意一条曲线,它们在点第九章第32页M0的切线都与同一向量n垂直,所以曲面上通过点M0的一
7、切曲线在点M0的切线都在同一个平面上.这个平面称为曲面S在点M0的切平面.这切平面的方程式是Fx(x0,y0,z0)(x-x0)+Fy(x0,y0,z0)(y-y0)+Fz(x0,y0,z0)(z-z0)=0.曲面的法线:通过点M0(x0,y0,z0)而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线.法线方程为.曲面的法向量:垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.向量n=(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0))就是曲面S在点M0处的一个法向量.例1求球面x2+y2+z2=14在点(1,2,3)处的切平面及法线方程式.解F(x,y
8、,z)=x
