《平面向量的内积》word版

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1、张家港市二职中曹文华课题：平面向量的内积教学目的：⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式⑶能用所学知识解决有关综合问题教学重点：平面向量数量积的坐标表示教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用教学过程：一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量与，作＝，＝，则∠AＯB＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量

2、

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5、cosq叫与的数量积，记作×，即有×=

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9、cosq，（０≤θ≤π）.并规定与任何向量的数量积为03．向量的数量

10、积的几何意义：数量积×等于的长度与在方向上投影

11、

12、cosq的乘积4．两个向量的数量积的性质：设、为两个非零向量，是与同向的单位向量1°×=×=

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14、cosq；2°^Û×=03°当与同向时，×=

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18、；当与反向时，×=-

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22、7张家港市二职中曹文华特别的×=

23、

24、2或4°cosq=；5°

25、×

26、≤

27、

28、

29、

30、5．平面向量数量积的运算律交换律：×=×数乘结合律：()×=(×)=×()分配律：(+)×=×+×二、讲解新课：⒈平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量，，试用和的坐标表示设是轴上的单位向量，是轴上的单位向量，那么，所以又，，所以这就是说：两个向量的数量积等于它们

31、对应坐标的乘积的和即2.平面内两点间的距离公式（1）设，则或（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)7张家港市二职中曹文华3.向量垂直的判定设，，则4.两向量夹角的余弦（）cosq=三、讲解范例：例1设=(5,-7)，=(-6,-4)，求×解：=5×(-6)+(-7)×(-4)=-30+28=-2例2已知(1,2)，(2,3)，(-2,5)，求证：△ABC是直角三角形证明：∵=(2-1,3-2)=(1,1),=(-2-1,5-2)=(-3,3)∴×=1×(-3)+1×3=0∴^∴△ABC是直角三角形例3已知=(3,-1

32、)，=(1,2)，求满足×=9与×=-4的向量解：设=(t,s)，由∴=(2,-3)例4已知＝（１，），＝（＋１，－１），则与的夹角是多少?分析：为求与夹角，需先求及｜｜·｜｜，再结合夹角θ的范围确定其值.解：由＝（１，），＝（＋１，－１）有·＝＋１＋（－１）＝４，｜｜＝２，｜｜＝２．7张家港市二职中曹文华记与的夹角为θ，则cosθ＝又∵０≤θ≤π，∴θ＝评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.例5如图，以原点和A(5,2)为顶点作等腰直角△ABC，使Ð=90°，求点和向量的坐标。解：设点坐标(x,y)，则=(x,y)，=(x-5,y-2)∵^∴x(x

33、-5)+y(y-2)=0即：x2+y2-5x-2y=0又∵

34、

35、=

36、

37、∴x2+y2=(x-5)2+(y-2)2即：10x+4y=29由∴点坐标或；=或例6在△ABC中，=(2,3)，=(1,k)，且△ABC的一个内角为直角，求k值解：当=90°时，×=0，∴2×1+3×k=0∴k=当=90°时，×=0，=-=(1-2,k-3)=(-1,k-3)∴2×(-1)+3×(k-3)=0∴k=当C=90°时，×=0，∴-1+k(k-3)=0∴k=四、课堂练习：1.若=(-4,3),=(5,6),则3

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39、２－４＝（）A.23B.57C.63D.837张家港市二职中曹文

40、华2.已知(1,2),(2,3),(-2,5)，则△为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不等边三角形3.已知=(4,3),向量是垂直的单位向量，则等于（）A.或B.或C.或D.或4.=(2,3),=(-2,4),则(+)·(-)=.5.已知(3，2)，(-1，-1)，若点P(x,-)在线段的中垂线上，则x=.6.已知(1，0)，(3，1)，(2，0)，且=,=,则与的夹角为.参考答案：1.D2.A3.D4.–75.6.45°五、小结两向量数量积的坐标表示长度、夹角、垂直的坐标表示六、课后作业：1.已知=(2,3),=(-4,7),

41、则在方向上的投影为（）A.B.C.D.2.已知=(λ，２)，=(-3,5)且与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（）A.λ＞B.λ≥C.λ＜D.λ≤3.给定两个向量=(3,4),=(2,-1)且(+x)⊥(-),则x等于（）A.23B.C.D.4.已知

42、

43、=,=(1,2)且∥,则的坐标为.5.已知=(1,2),(1,1),=-k,若⊥，则＝.7张家港市二职中曹文华6.已知=(3,0),=(k,5)且与的夹角为，则k的值为.7.已知=(3,-1),=(1,2),求满足条件x·=9与x·=-4的向量x.8.已知点A(1，2)和B(4，

44、-1)，问