高三数学二轮复习 专题13 空间的平行与垂直问题导学案

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1、专题13：空间的平行与垂直问题班级姓名一、前测训练ABCA1B1C1DED1,3,51．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若D、E是棱CC1，AB的中点，求证：DE∥平面AB1C1．提示：法一：用线面平行的判定定理来证：“平行投影法”：取AB1的中点F，证四边形C1DEF是平行四边形．“中心投影法”延长BD与B1C1交于M，利用三角线中位线证DE∥AM．法二：用面面平行的性质取BB1中点G，证平面DEG∥平面AB1C1．2．已知底面为平行四边形的四棱锥S－ABCD中，P为SB中点，Q为AD上一点，若PQ∥面SDC，求AQ：QD．DSABCPQ答案：1：13．在正方体

2、ABCD－A1B1C1D1中，(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1CA1D1ABCDB1C1E·F·(2)若E，F分别是A1A，C1C的中点，求证：平面EB1D1∥平面BDF提示：(1)用面面平行的判定定理证：证明BD∥B1D1，A1B∥D1C．(2)证明BD∥B1D1，BF∥D1E．A1D1ABCDB1C1M·O4．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为棱CC1的中点，AC交BD于O，求证：A1O⊥平面MBD提示：用线面垂直的判定定理：证BD⊥平面AA1C1C，从而得出BD⊥A1O；在矩形AA1C1C中，用平几知识证明A1O⊥OM；5．在正三棱柱ABC－A1B1C1

3、中，所有棱长均相等，D为BB1的中点，求证：A1B⊥CD．A1BCC1B1DA提示：取AB的中点E，连CE，证A1B⊥平面CDE．6．如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是菱形，PB＝PD，且E，F分别是BC，CD的中点．求证：平面PEF⊥平面PAC．BCDAPEF提示：设EF与AC交于点O，证EF⊥AC，EF⊥OP，从而得出EF⊥平面PAC．7．如图，已知VB⊥平面ABC，侧面VAB⊥侧面VAC，求证：△VAC是直角三角形．BCAV提示：过B作BD⊥VA，垂足为D，由侧面VAB⊥侧面VAC，得出BD⊥侧面VAC，从面BD⊥AC，由VB⊥平面ABC，得AC⊥VB，从而

4、AC⊥平面VAB．所以AC⊥VA．二、方法联想1．证明线面平行方法1构造三角形(中心投影法)，转化为线线平行．寻找平面内平行直线步骤，如下图：①在直线和平面外寻找一点P；②连接PA交平面α于点M；③连接PA交平面α于点N，④连接MN即为要找的平行线．或①②③PAB④①②③ABP④MNMN方法2：构造平行四边形(平行投影法)，转化为线线平行．寻找平面内平行直线步骤，如下图：①选择直线上两点A、B构造两平行直线和平面α相交于M、N；②连接MN即为要找的平行线．①②①AMNB方法3：构造面面平行．构造平行平面步骤，如下图：①过A做AC平行于平面α内一条直线A’C’；②连结BC；③平

5、面ABC即为所要找的平行平面．①②ABCA’C’证明线线平行方法1：利用中位线；方法2：利用平行四边形；方法3：利用平行线段成比例；方法4：利用平行公理；方法5：利用线面平行性质定理；方法6：利用线面垂直性质定理；方法7：利用面面平行．2．已知线面平行方法过直线l做平面β交已知平面α于直线m，则l∥m．lmα3．面面平行证明方法在一个平面内寻找两条相交直线证明与另一个平面平行．注意证面面平行必须先通过证线面平行，不可以直接通过证线线平行来证面面平行．4．证明线面垂直方法证明直线与平面内两条相交直线垂直．证明线线垂直方法1：利用线面垂直；方法2：利用线线平行；方法3：利用勾股定

6、理；方法4：利用等腰三角形三线合一；方法5：利用菱形对角线互相垂直；方法6：利用四边形为矩形．5．构造垂面证线线垂直要证l垂直于AB，构造垂面证线线垂直步骤:如下图：①过A找垂直于l的直线AC；②连结BC，③证BC垂直l，则l⊥面ABC．ABlC①②6．证明面面垂直关键是找到和另一个平面垂直的垂线，转化为线面垂直．找垂线的一般方法：（1）分别在两个平面内找两条互相垂直的直线，再判断其中一条直线垂直于平面；（2）找（或做）两平面交线的垂线．7．已知线面垂直优先在其中一个平面内做两个平面交线的垂线，转化为线面垂直．三、例题分析(考虑立体几何的难度，三个层次学校题目均相同)ACDB

7、EPF例1：在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB．(1)若F为PC的中点，求证：PC⊥平面AEF；(2)求证：CE∥平面PAB．证明：(1)在△ABC中，∵∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，∴AC＝2AB，又∵PA＝2AB，∴AC＝PA，∵F为PC的中点，∴AF⊥PC；∵PA⊥平面ABCD，CDÌ平面ABCD，∴PA⊥CD，∵∠ACD＝90°，∴CD⊥AC，AC∩PA＝A，∴CD⊥平面PAC，∵PCÌ平面PAC