初中数学比例式的证明方法

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1、第16讲比例式的证明方法艺术的进步在很大程度上取决于艺术的特征.为什么人们总是用数和线或由数和线所描述的事物来说明问题呢？这是因为任何概念除了与数和线相对应的这些特征以外，再无其他更重要的特征了.——莱布尼兹知识方法扫描1．形如ab=cd的乘积式的证明，常化成比例式。而比例式的证明，可由题目条件选择平行线分线段成比例定理，相似形的性质或角平分线性质定理来解决。必要时还需引入第三比来转化。2．形如，，一类式子的证明，常将其转化为若干比例式之积来解决。如要证明，可先设法证，二式相乘即可。这里寻找线段x,是证题的关键。3．形如一类

2、以分式形式出现的等式的证明，一般是利用比例关系化为分母相同的一组比，然后进行计算，这种方法类似于分式运算中的通分。还有一类形如的式子中没有线段的比，可以化为的形式来证明。4．形如ab+cd=ef的等式的证明，常将e或f两段中的一段分成两段，如将f分为x+y,然后设法证明ab=ex,cd=ey即可，选择f上的分点，是探寻证题思路的关键。5．利用比例线段还可以用来证明线段或角的相等，以及证明直线的平行与垂直等，还可以用来计算有关线段长度，及角的度数等．经典例题解析例1．(1985年合肥市初中数学竞赛试题)如图，在⊙O内，弦AB∥

3、CD，QO⊥AB交BC于P，交AC延长线于Q，求证：OP•OQ=OA2。证明如图，连结PA，OB。因AB∥CD，QO⊥AB，故∠BOM=∠AOM=∠AOB=∠ACM，于是∠BOP=∠PCQ。又∠OPB=∠CPQ，于是∠OPB=∠Q。但显然有∠OPB=∠PAO，于是∠PAO=∠Q。从而△POA∽△AOQ，，OP•OQ=OA2。例2．△ABC的三条内角平分线相交于I,过I作DE⊥AI,DE交AB于D,交AC于E.求证：.证明如图，∠DIB＝∠ADI－∠DBI＝(90°－∠1)－∠2＝90°－∠BAC－∠ABC＝90°－(180°

4、－∠ACB)＝∠ACB＝∠3,同理可证∠EIC＝∠2,故有△IDB∽△CIB.∴,即IB2＝BD·BC.同法可证△CEI∽△CIB，∴△IDB∽△CEI，∵AI平分∠DAE,AI⊥DE,∴DI＝EI.故即ID2＝BD·CE.∴例3．（1985年宁夏回族自治区初中数学竞赛试题）如图，已知AD是△ABC的外接圆的直径，由B，C分别作AD的垂线交AC的延长线于E，交AB于F，求证：。证明设FC，EB分别交AD于H，G。连结BD，CD。由射影定理，得AB2=AG•AD，AC2=AH•AD，于是………①由CF∥BE，得………②易证△A

5、EB∽△ABC，于是………③由①②③得。例4．四边形ABCD是圆内接四边形，求证：AC••••BD=AB••••CD+AD••••BC。证明作DE交AC于E，使∠1=∠2，因∠3=∠4，故△CDE∽△DAB，于是有，AB•CD=DB•CE同理可证△DAE∽△CDB，，DA•BC=BD•AE将上面两式相加，可得AB•CD+DA•BC=DB•CE+BD•AE=BD（CE+AE）=BD•AC。评注1．本题就是托勒密定理：圆内接四边形的对角线之积等于它的两组对边乘积之和。2．托勒密定理的逆定理也是成立的，即若一个四边形的对角线之积等

6、于它的两组对边乘积之和，那么这个四边形内接于圆。例5．（1985年黑龙江省齐齐哈尔市、大庆市初中数学竞赛）如图，P为△ABC的中位线DE上的一点，BP交AC于N，CP交AB于M．求证：解如图，过A作BC的平行线分别交直线BN、CM于G、H．连GC、HB.易知HG∥DE∥BC.由于D为AB中点，可知P为BG、CH的中点．故四边形BCGH为平行四边形，有∴于是，即例6．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4．求证：。分析要证明，只要证明或即可。设法利用长度分别为AB，BC，CA及AB＋AC这4条线段，构造一对相似三角形，问题

7、可能解决．注意到原△ABC中，已含上述4条线段中的三条，因此，不妨以原三角形ABC为基础添加辅助线，构造一个三角形，使它与△ABC相似，期望能解决问题．证明延长AB至D，使BD=AC(此时，AD=AB＋AC)，又延长BC至E，使AE=AC，连结ED．下面证明△ADE∽△ABC．设∠A=α，∠B=2α，∠C=4α，则∠A+∠B+∠C=7α=180°．由作图知，∠ACB是等腰三角形ACE的外角，所以∠ACE=180°-4α＝3α，所以∠CAE=180°-3α-3α=7α-6α=α．从而∠EAB=2α＝∠EBA，AE＝BE．又由作

8、图AE=AC，AE=BD，所以BE=BD，△BDE是等腰三角形，所以∠D＝∠BED＝α＝∠CAB，所以△ABC∽△DAE，，即。所以例7．（1999年上海市高中理科班、数学班招生选拔测试数学试题）如图所示,在锐角△ABC中,AD是BC边上的高E是AD上一点且满足AE∶ED=CD∶DB,过D