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《2013年高中数学 暑期特献 重要知识点 导数的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、导数的应用微分学中值定理 在给出微分学中值定理的数学定义之前，我们先从几何的角度看一个问题，如下： 设有连续函数，a与b是它定义区间内的两点(a＜b)，假定此函数在(a,b)处处可导，也就是在(a,b)内的函数图形上处处都由切线，那末我们从图形上容易直到， 差商就是割线AB的斜率，若我们把割线AB作平行于自身的移动，那么至少有一次机会达到离割线最远的一点P(x=c)处成为曲线的切线，而曲线的斜率为，由于切线与割线是平行的，因此 成立。 注：这个结果就称为微分学中值定理，
2、也称为拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那末在(a,b)内至少有一点c，使 成立。 这个定理的特殊情形，即：的情形，称为罗尔定理。描述如下： 若在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且，那末在(a,b)内至少有一点c，使成立。 注：这个定理是罗尔在17世纪初，在微积分发明之前以几何的形式提出来的。 注：在此我们对这两个定理不加以证明，若有什么疑问，请参考相关书籍 下面我们在学习一条通过拉格朗日中值定理推广得来的定理——柯西中值定理柯西中值定理 如
3、果函数，在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且≠0，那末在(a，b)内至少有一点c，使成立。 例题：证明方程在0与1之间至少有一个实根 证明：不难发现方程左端是函数的导数： 函数在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且，由罗尔定理 可知，在0与1之间至少有一点c，使，即 也就是：方程在0与1之间至少有一个实根未定式问题 问题：什么样的式子称作未定式呢？ 答案：对于函数,来说，当x→a(或x→∞)时，函数,都趋于零或无穷大 则极限可能存在，也可能不存在，我们就把式子称为未定式。分别记为型 我们容易知道
4、，对于未定式的极限求法，是不能应用"商的极限等于极限的商"这个法则来求解的，那么我们该如何求这类问题的极限呢？ 下面我们来学习罗彼塔(L'Hospital)法则，它就是这个问题的答案 注：它是根据柯西中值定理推出来的。罗彼塔(L'Hospital)法则 当x→a(或x→∞)时，函数,都趋于零或无穷大，在点a的某个去心邻域内(或当│x│＞N)时，与都存在，≠0，且存在 则：= 这种通过分子分母求导再来求极限来确定未定式的方法，就是所谓的罗彼塔(L'Hospital)法则 注：它是以前求极限的法则的补充，以前利用法则不好求的极限，可利用此法则求解。 例题：求 解答
5、：容易看出此题利用以前所学的法则是不易求解的，因为它是未定式中的型求解问题，因此我们就可以利用上面所学的法则了。 例题：求 解答：此题为未定式中的型求解问题，利用罗彼塔法则来求解 另外，若遇到、、、、等型，通常是转化为型后，在利用法则求解。 例题：求 解答：此题利用以前所学的法则是不好求解的，它为型，故可先将其转化为型后在求解， 注：罗彼塔法则只是说明：对未定式来说，当存在，则存在且二者的极限相同；而并不是不存在时，也不存在，此时只是说明了罗彼塔法则存在的条件破列。函数单调性的判定法 函数的单调性也就是函数的增减
6、性，怎样才能判断函数的增减性呢？ 我们知道若函数在某区间上单调增(或减)，则在此区间内函数图形上切线的斜率均为正(或负),也就是函数的导数在此区间上均取正值(或负值).因此我们可通过判定函数导数的正负来判定函数的增减性.判定方法： 设函数在[a,b]上连续，在(a,b)内可导. a)：如果在(a,b)内＞0，那末函数在[a,b]上单调增加； b)：如果在(a,b)内＜0，那末函数在[a,b]上单调减少. 例题：确定函数的增减区间. 解答：容易确定此函数的定义域为(－∞,＋∞) 其导数为：，因此可以判出： 当x＞0时，＞0，故它的单调增区间为(0
7、,＋∞)； 当x＜0时，＜0，故它的单调减区间为(-∞,0)；注：此判定方法若反过来讲，则是不正确的。函数的极值及其求法 在学习函数的极值之前，我们先来看一例子： 设有函数，容易知道点x=1及x=2是此函数单调区间的分界点，又可知在点x=1左侧附近，函数值是单调增加的，在点x=1右侧附近，函数值是单调减小的.因此存在着点x=1的一个邻域,对于这个邻域内,任何点x(x=1除外)，＜均成立，点x=2也有类似的情况(在此不多说),为什么这些点有这些性质呢？ 事实上，这
