经典求极限方法

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1、实用标准文案求极限的常用方法典型例题1．约去零因子求极限例1：求极限【说明】表明无限接近，但，所以这一零因子可以约去。【解】=42．分子分母同除求极限例2：求极限【说明】型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。【解】【注】(1)一般分子分母同除的最高次方；　　(2)3．分子(母)有理化求极限例3：求极限【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】例4：求极限【解】精彩文档实用标准文案【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键　4．应用两个重要极限求极限两个重要极限是和，第一个重要极限过于简单且可通

2、过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。例5：求极限【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑，最后凑指数部分。【解】例6：(1)；(2)已知，求。5．用等价无穷小量代换求极限(1)常见等价无穷小有：当时,,；(2)等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式；(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。例7：求极限【解】.例8：求极限【解】精彩文档实用标准文案6．用罗必塔法则求极限例9：求极限【说明】或型的极限,可通过罗必塔法则来求。【解】【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解例10：设函数f(x)连续，且，求极限【解】由于,于是==

3、==7．用对数恒等式求极限例11：极限【解】==【注】对于型未定式的极限，也可用公式精彩文档实用标准文案=例12：求极限.【解1】原式【解2】原式8．利用Taylor公式求极限例13求极限.【解】,;.例14求极限.【解】精彩文档实用标准文案.9．数列极限转化成函数极限求解例15：极限【说明】这是形式的的数列极限，由于数列极限不能使用罗必塔法则，若直接求有一定难度，若转化成函数极限，可通过7提供的方法结合罗必塔法则求解。【解】考虑辅助极限所以，10．n项和数列极限问题n项和数列极限问题极限问题有两种处理方法(1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算;(2)利用两

4、边夹法则求极限.例16：极限【说明】用定积分的定义把极限转化为定积分计算,是把看成［0,1］定积分。【解】原式＝例17：极限精彩文档实用标准文案【说明】(1)该题遇上一题类似，但是不能凑成的形式，因而用两边夹法则求解；(2)两边夹法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的。【解】因为　　又　　　　所以　　＝１12．单调有界数列的极限问题例18：设数列满足（Ⅰ）证明存在，并求该极限；（Ⅱ）计算.【分析】一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在.【详解】（Ⅰ）因为，则.可推得　，则数列有界.于是　，（因当），则有，可见数列

5、单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限存在.设，在两边令，得　，解得，即.（Ⅱ）　因　，由（Ⅰ）知该极限为型，精彩文档实用标准文案(使用了罗必塔法则)故　.第二部分掌握求简单极限的常用方法。求极限的常用方法有(1)利用极限的四则运算法则；(2)利用两个重要极限；(3)利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）；(4)利用连续函数的定义。例求下列极限：（1）（2）（3）（4）（5）解（1）对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则和第一重要极限计算，即===（2）利用第一重要极限和函数的连续性计算，即精彩文档实用标准文案（3）利用第二重

6、要极限计算，即＝。（4）利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）计算，即=1注：其中当时，，都是无穷小量乘以有界变量，即它们还是无穷小量。（5）利用函数的连续性计算，即＝第三部分1．定义：说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。利用导数的定义求极限　这种方法要求熟练的掌握导数的定义。2．极限运算法则精彩文档实用标准文案定理1已知，都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有（1）（2）（3）

7、说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。. 利用极限的四则运算法求极限这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。　　8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限例1解：原式=。注：本题也可以用洛比达法则。例2解：原式=。例3精彩文档实用标准文案解：原式。3．两个重要极限（1）（2）；说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，例如：，，；等等。利用两个重要极限求极限例5解：原式=。注：本题也可以用洛比

8、达法则。例