高中数学 第二章 平面向量 2.2 向量的线性运算小结导学案新人教a版必修4

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1、2.2向量的线性运算小结【学习目标】1．掌握向量加法的平行四边形法则及加减法的三角形法则．2．理解学会共线向量定理在平面几何图形中的应用．【新知自学】知识梳理：1．向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的加法与减法加法：（1）

2、定义：求两个向量和的运算（2）法则(或几何意义)：三角形法则平行四边形法则（3）运算律：交换律：a＋b＝b＋a.结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法：（1）定义：向量a加上向量b的相反向量，叫做a与b的差，即a＋(－b)＝a－b（2）法则(或几何意义)：三角形法则（3）运算律：a－b＝a＋(－b)3.向量的数乘运算及其几何意义(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：①

3、λa

4、＝

5、λ

6、

7、a

8、；②当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当

9、λ＝0时，λa＝0.(2)运算律：设λ，μ是两个实数，则①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.4．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使b＝λa.感悟：1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．2.在△ABC中，若D为BC的中点，则＝(＋)．3.向量的平行与直线的平行不同，向量的平行包括两向量所在直线平行和重合两种情形．对点练习：1．若向量a与b不相等，则a与b一定(　　)．A．有不相等的模B．不共线C

10、．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量2．若m∥n，n∥k，则向量m与向量k(　　)．A．共线B．不共线C．共线且同向D．不一定共线3．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是(　　)．A．＝＋B．＝－C．＝－＋D．＝－－4．D是△ABC的边AB上的中点，则向量等于(　　)．A．－＋B．－－C.－D.＋5．设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与2a－b共线，则λ＝________.【合作探究】典例精析：专题一　平面向量的有关概念例1．给出下列命题：①若

11、a

12、＝

13、b

14、，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线

15、的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是

16、a

17、＝

18、b

19、且a∥b.其中正确命题的序号是________．变式练习1：给出下列四个命题：①a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；②任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四顶点；③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；④有相同起点的两个非零向量不平行．其中所有正确命题的序号是________．专题二　平面向量的线性运算例2．如图，在梯形ABCD中，

20、

21、＝2

22、

23、，M，N分别是DC，AB的中点．若＝e1，

24、＝e2，用e1，e2表示，，.变式练习2：如图，在△ABC中，＝，DE∥BC交AC于点E，BC边上的中线AM交DE于点N.设＝a，＝b，用a，b表示向量，，，，，.专题三　共线向量定理的应用例3．设两个非零向量a与b不共线．(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．变式练习3：若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一条直线上？【课堂小结】【当堂达标】1．已知O是△ABC所在平面内一点

25、，D为BC边的中点，且2＋＋＝0，那么(　　)．A．＝B．＝2C．＝3D．2＝2．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是DC，BC的中点，那么＝(　　)．A．＋B．－－C．－＋D．－3．已知＝a，＝b，＝c，＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则(　　)．A．a－b＋c－d＝0B．a－b－c＋d＝0C．a＋b－c－d＝0D．a＋b＋c＋d＝04．已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若＋2＝3，则的值为(　　)．A．B．C．D．5．设a，b是两个不共线向量，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实

26、数p的值为________．6.如图，在矩形ABCD中，

27、

28、＝1，

29、

30、＝2，设＝a，＝b，＝c，则

31、a＋b＋c

32、＝________.【课时作业】1．设a，b是两个非零向量．(　　)．A．若

33、a＋b

34、＝

35、a

36、－

37、b

38、，则a⊥bB．若a⊥b，则

39、a＋b

40、＝

41、a

42、－

43、b

44、C．若

45、a＋b

46、＝

47、a

48、－

49、b

50、，则存在实数λ，使得