高中数学 正弦函数、余弦函数的性质提高知识讲解 新人教a版必修1

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1、正弦函数、余弦函数的性质【学习目标】1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义；2.理解正弦函数、余弦函数在区间上的性质(如单调性、周期性、最大值和最小值以及与轴的交点等)。【要点梳理】要点一：周期函数的定义函数，定义域为I，当时，都有，其中T是一个非零的常数，则是周期函数，T是它的一个周期.要点诠释：1.定义是对I中的每一个值来说的，只有个别的值满足或只差个别的值不满足都不能说T是的一个周期.2.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期.要点二：正弦函数、余弦函数的图象和性质函数正弦函数y＝sinx余弦函数y=cosx定义

2、域RR值域[-1，1][-1，1]奇偶性奇函数偶函数周期性最小正周期最小正周期单调区间k∈Z增区间减区间增区间减区间最值点k∈Z最大值点最小值点最大值点最小值点对称中心k∈Z对称轴k∈Z要点诠释：（1）正弦函数、余弦函数的值域为，是指整个正弦函数、余弦函数或一个周期内的正弦曲线、余弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么正弦函数、余弦函数的值域就可能不是，因而求正弦函数、余弦函数的值域时，要特别注意其定义域。（2）求正弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求的单调递增区间时，应先将变换为再求解，相当于求的单调递减区间；二是根据单调性的定义，所求的单调区间

3、必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域。要点三：正弦型函数和余弦型函数的性质。函数与函数可看作是由正弦函数，余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数，余弦函数类似地得到：（1）定义域：（2）值域：（3）单调区间：求形如与函数的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，分别与正弦函数，余弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间。比如：由解出的范围所得区间即为增区间，由解出的范围，所得区间即为减区间。（4）奇偶性：正弦型函数和余弦型函数不一定具备奇偶性。对于函数，当时为奇函数，当时为偶函数；对于函数，当时为偶函数，当

4、时为奇函数。要点诠释：判断函数，的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件。（5）周期：函数及函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为。（6）对称轴和对称中心与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为。同理，的对称轴由解出，对称中心的横坐标由解出。要点诠释：若，则函数和函数不一定有对称轴和对称中心。【典型例题】类型一：正弦函数、余弦函数的定义域与值域例1．求函数的定义域；【解析】为使函数有意义，需满足2sin2x+cosx－1≥0，即2cos2x―cosx―1

5、≤0，解得。画出余弦函数的图象或单位圆，如下图所示。∴定义域为。【总结升华】求三角函数的定义域要注意三角函数本身的符号及单调性，在进行三角函数的变形时，要注意三角函数的每一步都保持恒等，即不能改变原函数的自变量的取值范围。举一反三：【变式1】求函数的定义域.【解析】由(k∈Z).又∵-1≤cosx≤1，∴0＜cosx≤1.故所求定义域为.【变式2】已知的定义域为［0，1)，求的定义域.【思路点拨】求函数的定义域：要使0≤cosx＜1，这里的cosx以它的值充当角.【解析】0≤cosx＜1，且.∴所求函数的定义域为.例2．求下列函数的值域：（1）y=

6、sinx

7、+sinx；（2），；（3）。

8、【解析】（1）∵，又∵－1≤sinx≤1，∴y∈[0，2]，即函数的值域为[0，2]。（2）∵，∴。∴。∴，∴0≤y≤2。∴函数的值域为[0，2]。（3）∵，当cosx=－1时，，∴函数的值域为。【总结升华】一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质。举一反三：【变式1】求函数y=3sin2x－4sinx+1，的值域。【答案】【解析】，令t=sinx，因为，所以t∈[0，1]，，t∈[0，1]，所以。类型二：正弦函数、余弦函数的单调性例3．求下列函数的单调递增区间：（1）；（2）。【思路点拨】

9、（1）要将原函数化为再求之（2）这个函数是复合函数，复合函数的单调性要由“内函数”和“外函数”的单调性共同决定，即“同增异减”。【解析】（1）.故由2kπ-≤-≤2kπ+.3kπ-≤x≤3kπ+(k∈Z)，为单调减区间；由2kπ+≤-≤2kπ+.3kπ+≤x≤3kπ+(k∈Z)，为单调增区间.∴递减区间为［3kπ-，3kπ+］，递增区间为［3kπ+，3kπ+］(k∈Z).（2）由sinx＞0，得2k＜x＜2k+（k∈Z）