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1、函数的概念知识梳理：1、函数的概念：⑴、函数的传统定义：设在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定了一个x的值，相应地就确定唯一的一个y值，那么我们就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。他们描述的是变量之间的依赖关系。⑵、函数的近代定义：一般地，设A，B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合｛f（x）︱x∈A｝叫
2、做函数的值域。注：①、A,B都是非空数集，因此定义域或值域为空集的函数不存在。②、集合A是函数的定义域，而集合B不一定是函数的值域。③、符号y=f（x）表示“x对应的函数值”，f表示对应关系。f（x）是一个整体，不可分开，不能理解为f*x。④、f（a），a∈A与f（x）的区别和联系。练习：判断下列对应是否为集合A到集合B的函数。⑴、A=R，B=｛x︱x＞0｝，f：x→y=
3、x
4、；⑵、A=Z，B=Z，f：x→y=x；⑶、A=Z，B=Z，f：x→y=；⑷、A=｛x︱-1≤x≤1｝，B=｛0｝，f：x→y=0.2、函数的构成要素：有函数的定义可知：一个函数的构成要素为：定
5、义域、对应关系和值域。注：⑴、检验给定的两个变量之间是否具有函数关系的方法：①定义域和对应关系是否给出；②根据给出的对应关系，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都有唯一的函数值y和它对应。⑵判断两个函数是否是同一函数的方法：定义域和对应关系都分别相同。练习：判断下列各组函数是否表示同一函数：⑴、f（x）=2x+1与g（x）=；⑵、f（x）=与g(x)=x-1;⑶、f（x）=
6、x-1
7、与g（x）=⑷、f（x）=x与f（t）=（）。3、函数的定义域：函数的定义域是自变量x的取值范围，有时候函数的定义域可以省略，如果未加特殊说明，函数的定义域就是指能使函数有意义的所有实
8、数x构成的集合。求函数定义域的一般方法：⑴、如果f（x）是整式，其定义域是实数集R；⑵、如果f（x）是分式，其定义域是使分母不为0的实数集合；⑶、如果f（x）是二次根式（偶次根式），其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合；⑷、如果f（x）是由以上几个部分的数学式子构成的，其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑸、f（x）=x的定义域是｛x∈R︱x≠0｝。注：实际问题，除考虑解析式本身的意义外，还应使实际问题有意义。练习：求下列函数的定义域：⑴、f（x）=+；⑵、f（x）=；⑴、f（x）=。1、函数的值域：求函数值域的方法：⑴、观察法：通过简单变形和观察。如：
9、y=；⑵、配方法：二次函数类型；⑶、判别法：化为自变量的二次方程形式，利用判别式求函数的值域，常见“分式”函数、“无理”函数等。注意自变量的取值范围。⑷、换元法：将复杂的函数化为几个简单的函数。如：函数y=ax±b±（a，b，c，d均为常数，ac≠0）的值域。⑸、分离常数法：如：函数y=（a≠0）。练习：⑴、已知函数f（x）=x-2x，其定义域为A=｛0,1,2,3｝，求这个函数的值域；⑵、求函数f（x）=，x∈R，在x=0,1,2处的函数值及函数的值域。2、区间：注：①、区间的左端点必小于右端点；②、区间两端的取值表示形式；③、无穷大不是一个数，在区间的一端时，这
10、一端必须是小括号。练习：函数y=的定义域可用区间表示为：。经典例题解析：1、判断下列各组中的两个函数是否表示同一函数：⑴、f（x）=6x与g（x）=6（）；⑵、f（x）=6x与g（x）=6（）；⑶、f（x）=6x与g（x）=6；⑵、f（x）=与g（x）=x+3；⑶、f（x）=与g（x）=
11、x+3
12、。2、已知函数f（x）=3x+2x，求f（f（1））的值。3、求下列函数的定义域：⑴、y=；⑵、y=；⑶、y=；⑷、y=。4、已知函数f（x+3）的定义域为【-5，-2】，求函数f（x+1）+f（x-1）的定义域。5、已知函数y=x+2x-3，分别求它在下列区间上的值域：⑴
13、x∈R；⑵x∈【0，+∞）；⑶x∈【-2,2】；⑷x∈【1,2】。1、求函数y=的值域。2、求函数y=6x+1+2的值域。8、已知函数y=的定义域为（-∞，+∞），值域为【1,9】，求m，n的值。作业：1、判断下列各组函数是否表示同一函数：⑴f（x）=x+2，g（x）=；⑵f（x）=（x-1），g（x）=x-1；⑶f（x）=
14、x
15、，g（t）=。2、已知函数f（x）=3x+2x，g（x）=x+1，求f（g（1））的值。3、若函数y=f（x）的定义域是【0,2】，则函数g（x）=的定义域是：。4、已知函数y=f（-1）的定义域为（-2,3），则函数y=f（3x-1）
