用几何模型解概率问题

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1、用几何模型解概率问题等可能事件中的一类特殊情形——几何概型，是其中一个重要的知识点，本文对这个内容进行分析与归纳，以帮助同学们了解考点变化，提升解题能力。1.几何概型的概念如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。2.几何概型的特点（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；（2）每个基本事件出现的可能性相等。3.几何概型的计算P（A）例1.某人午觉醒来，发现表停了，电台半小时报时一次，他打开收音机，想听电台报

2、时，求他等待的时间不超过10分钟的概率。分析：此问题等价于：将一个30厘米长的物体折成两部分，求其中一段长度不超过10厘米的概率是多少？易求其概率为P（A）。例2.两人相约8点到9点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时就可离去，试求这两人能会面的概率。分析：以x，y分别表示两人的到达时刻，则两人能会面的充要条件为。这是一个几何概型问题，可能的结果全体是边长为60的正方形里的点，能会面的点的区域用阴影标出（如图1）。所求概率为。3图1例3.在单位圆的圆周上随机取三点A、B、C，求是锐角三角形

3、的概率。解法1：记的三内角分别为，，事件A表示“是锐角三角形”，则试验的全部结果组成集合。因为是锐角三角形的条件是且所以事件A构成集合由图2可知，所求概率为。图2解法2：如图3所示建立平面直角坐标系，A、B、、为单位圆与坐标轴的交点，当为锐角三角形，记为事件A。则当C点在劣弧上运动时，即为锐角三角形，即事件A发生，所以3图3解决问题的关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率。3