三年级数学 奥数讲座 数阵图（二）

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1、三年级数阵图(二)　　上一讲我们讲了仅有一个“重叠数”的辐射型数阵图的填数问题，这一讲我们讲有多个“重叠数”的封闭型数阵图。例1将1～8这八个数分别填入右图的○中，使两个大圆上的五个数之和都等于21。分析与解：中间两个数是重叠数，重叠次数都是1次，所以两个重叠数之和为　　21×2-(1+2+…+8)=6。　　在已知的八个数中，两个数之和为6的只有1与5，2与4。每个大圆上另外三个数之和为21-6=15。　　如果两个重叠数为1与5，那么剩下的六个数2，3，4，6，7，8平分为两组，每组三数之和为15的只有　　

2、2+6+7=15和3+4+8=15，　　故有左下图的填法。　　　如果两个重叠数为2与4，那么同理可得上页右下图的填法。例2将1～6这六个自然数分别填入右图的六个○内，使得三角形每条边上的三个数之和都等于11。分析与解：本题有三个重叠数，即三角形三个顶点○内的数都是重叠数，并且各重叠一次。所以三个重叠数之和等于　　11×3-(1+2+…+6)=12。　　1～6中三个数之和等于12的有1，5，6；2，4，6；3，4，5。　　如果三个重叠数是1，5，6，那么根据每条边上的三个数之和等于11，可得左下图的填法。容易

3、发现，所填数不是1～6，不合题意。　　同理，三个重叠数也不能是3，4，5。　　经试验，当重叠数是2，4，6时，可以得到符合题意的填法(见右上图)。例3将1～6这六个自然数分别填入右图的六个○中，使得三角形每条边上的三个数之和都相等。分析与解：与例2不同的是不知道每边的三数之和等于几。因为三个重叠数都重叠了一次，由(1+2+…+6)+重叠数之和=每边三数之和×3，得到每边的三数之和等于　　[(1+2+…+6)+重叠数之和]÷3　　=(21+重叠数之和)÷3　　=7+重叠数之和÷3。　　因为每边的三数之和是整数

4、，所以重叠数之和应是3的倍数。考虑到重叠数是1～6中的数，所以三个重叠数之和只能是6，9，12或15，对应的每条边上的三数之和就是9，10，11或12。　　与例2的方法类似，可得下图的四种填法：　　每边三数之和=9每边三数之和=10每边三数之和=11每边三数之和=12例4将2～9这八个数分别填入右图的○里，使每条边上的三个数之和都等于18。分析与解：四个角上的数是重叠数，重叠次数都是1次。所以四个重叠数之和等于　　18×4-(2+3+…+9)=28。　　而在已知的八个数中，四数之和为28的只有：　　4+7+

5、8+9=28或5+6+8+9=28。　　又由于18-9-8=1，1不是已知的八个数之一，所以，8和9只能填对角处。由此得到左下图所示的重叠数的两种填法：　　“试填”的结果，只有右上图的填法符合题意。　　以上例题都是封闭型数阵图。　　一般地，在m边形中，每条边上有n个数的形如下图的图形称为封闭型m-n图。　　与“辐射型m-n图只有一个重叠数，重叠次数是m-1”不同的是，封闭型m-n图有m个重叠数，重叠次数都是1次。　　对于封闭型数阵图，因为重叠数只重叠一次，所以　　已知各数之和+重叠数之和　　=每边各数之和×

6、边数。　　由这个关系式，就可以分析解决封闭型数阵图的问题。　　前面我们讲了辐射型数阵图和封闭型数阵图，虽然大多数数阵问题要比它们复杂些，但只要紧紧抓住“重叠数”进行分析，就能解决很多数阵问题。例5把1～7分别填入左下图中的七个空块里，使每个圆圈里的四个数之和都等于13。分析与解：这道题的“重叠数”很多。有重叠2次的(中心数，记为a)；有重叠1次的(三个数，分别记为b，c，d)。根据题意应有　　(1+2+…+7)+a+a+b+c+d=13×3，　　即a+a+b+c+d=11。　　因为1+2+3+4=10，11

7、-10=1，所以只有a=1，b，c，d分别为2，3，4才符合题意，填法见右上图。 练习　　1.把1～8填入下页左上图的八个○里，使每个圆圈上的五个数之和都等于20。　　2.把1～6这六个数填入右上图的○里，使每个圆圈上的四个数之和都相等。　　3.将1～8填入左下图的八个○中，使得每条边上的三个数之和都等于15。　　4.将1～8填入右上图的八个○中，使得每条直线上的四个数之和与每个圆周上的四个数之和都相等。　　5.将1～7填入右图的七个○，使得每条直线上的各数之和都相等。　　6.把1，3，5，7，9，11，1

8、3分别填入左图中的七个空块中，使得每个圆内的四个数之和都等于34。