高二数学反正切函数与反余切函数知识精讲 人教版

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1、高二数学反正切函数与反余切函数知识精讲人教版一.本周教学内容：第四章的§4.3反正切函数与反余切函数，§4.4三角方程，§4.5最简单的三角方程。二.重点、难点：2.反正切函数的图象与性质：3.两个恒等式：几何解释如下：5.反余切函数的图象与性质：下图是y=arcctgx的图象：（1）奇偶性：y=arcctgx是非奇非偶函数。6.两个恒等式：几何解释可类比反正切函数的两个恒等式。此外，注意反正切函数与反余切函数有如最简单的三角方程：sinx=a，cosx=a，tgx=a，ctgx=a。其他三角方程的求解，通过换元，适当的三角变形，可转化

2、为解这种最简单的三角方程，因此熟练掌握这四种最简单的三角方程就变得至关重要。事实上，《代数》（上册）第二章的§2.7“已知三角函数值求角”一节就是解三角方程的问题，只是当时未借用反三角函数的形式表示角。学习三角方程的解法时，不妨先复习这一节的关于求角的方法。（这种方法的迁移能力要逐渐培养起来）【典型例题】例1.求下列各式的值：的值。解：例2.求下列各式的值。分析：（2）、（4）、（5）、（6）均可采用换元法，简化式子，以便选择三角公式。导公式变形，使之适合恒等式的条件。解：例3.分析：从式子的涵义看，欲求的是两角之和，而三角学中的一般思

3、路是，先求出该角的某个三角函数值，由三角函数值反求角。由于本例所涉及的是反正切形式的角，故应先求出这两角和的正切值。解：例4.分析：欲比较三个角的大小，因其形式是反三角函数，方法之一：可把这三者化为同名的反三角函数形式，再利用该函数单调性比大小。方法之二：可先求出这三个角的某个三角函数值，再利用该函数的单调性比大小。方法之三：可借助于单位圆，把这三个角的终边画出来，直观地得到大小关系。解法一：解法二：解法三：根据三个角的涵义，易在单位圆中作出这三个角，如下图所示，显然有。例5.解下列方程：分析：对（1）若把视为，则方程变为化为最简单的三

4、角方程，对（2）与（1）同方法，对（3）则需将其作三角变形，，即可转化为简单的三角方程。解：例6.分析：若联想到sin2x=1－cos2x，则方程可化为含cosx的一元二次方程，此为方法一；若联想公式cos2x－sin2x=cos2x，则方程可进一步移项，化积，作因式分解状，此为方法二；若用完二倍角公式后，能把方程化为同名函数值相等的形式，此为方法三。解法一：解法二：解法三：注：三种解法的解的结果从形式上看不同，但实质上是等价，即它们表示的角完全相同。（可从其表达的角的终边是否一一对应检验）例7.设方程内有相异的两个实数解，求实数a的取

5、值范围及的值。分析：对方程的根的讨论，尤其对有明显的函数式的方程，若能结合函数图象加以分析与研究，将能更好地理解题意，从中发现简捷的解题方法。解：【模拟试题】一.选择题：1.下列结论中，不正确的是（）二.填空题：1.求值：三.解答题：[参考答案]http://www.DearEDU.com一.选择题：1.A2.D3.C4.C5.C二.填空题：1.（1）；（2）2.3.4.5.三.解答题：1.解：设则，从而，2.解：依已知，得，由可推知且，从而可知且，可见综上，，且2.解：，注意到，故k只能取0，此时4.解法提示：法(一)：把方程化为关于

6、的齐次方程：，齐次化切：，解得或。法(二)：用倍角公式、降次公式：