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1、马科维兹资产组合选择模型的旋转算法 第49卷?第1期??????????????2003年2月????????????? ?武汉大学学报(理学版)???????Vol?49?No?1?Feb.2003,025~028 J.WuhanUniv.(Nat.Sci.Ed.)????? 文章编号:1671?8836(2003)01?0025?04 马科维兹资产组合选择模型的旋转算法 张忠桢,张?鹏 (武汉理工大学管理学院,湖北武汉?430070) ? ??摘?要:提出线性不等式组的一种旋转算法,并用其求解马科维兹资产组合选择模型.此算法每次迭代约需n2次乘法和加法,其中n是模型中变
2、量的数目.在微机上运行Delphi程序的实验结果表明,从上海和深圳股市1072支股票70期周末收盘价计算出20个最优投资组合仅需314次迭代和45s. 关?键?词:基;(非)基向量;基本解;旋转运算;参数化方法;资产组合中图分类号:O221.2;F224.9???文献标识码:A 来,马科维兹本人以及其他许多学者不断研究这一模 0?引?言 ??马科维兹的资产组合选择模型及其分散风险的思想是现代投资理论的奠基石,在经济发达国家和地区的金融业应用广泛.它被用于定量地确定有效投资组合,有利于人们形成合理的投资理念,稳定金融市场.同个股走势分析一样,利用马科维兹模型计算投资组合需要历史数据.但
3、后者考虑资产之间的相关性,前者不考虑.不同资产之间的相关关系是一种结构关系.从系统的观点看,系统的结构往往比个体的行为更为稳定.因此,计算出的投资组合应比个股走势分析有更可靠的参考价值. 马科维兹模型又称为均值?方差资产组合选择模型,是一个凸二次规划,其目标函数是投资组合收益率的方差,是投资风险的度量,但约束条件有多种形式.表示资产或资产比例的变量可以有上界限制也可能没有.变量下界可以是零、正数或负数(称为允许卖空).也可以有?行业约束之类的一般不等式,或在模型中引入融资成本和交易成本.由于篇幅所限,本文仅讨论马科维兹称为标准约束的资产组合选择模型的解法.熟悉了其解法,不难用于求解一般形式
4、的均值?方差模型. 自从1952年马科维兹提出他的标准约束模型以 ?收稿日期:2002?09?11 型的解法,提出了许多算法.例如,在1987年出版的一本书以及2000年的再版本[1]中,马科维兹用大量篇幅介绍了一种算法,称为临界线算法.但这种方法非常复 杂且难以及时构造大规模投资组合.为了减少计算量,有的学者利用因子模型或线性变换构造一个稀疏的协方差矩阵进行计算,有的则干脆修改风险的定义,使用线性规划模型[4~6].但这些模型得到的只是近似解. 本文提出线性不等式组的一种旋转算法,并用其求解马科维兹模型的库恩?塔克条件.这种方法不仅较为简便,而且可以快速计算出马科维兹意义下的有效
5、投资组合.作者利用上海和深圳证券交易所2000年4月28日至2001年9月28日之间1072支股票70期周末收盘价做计算机实验.结果表明,这种方法的计算量不仅少于用单纯形算法解同等规模的线性规划,而且少于用高斯消元法解同等规模的线性方程组.对这一方法感兴趣的读者可以用笔者所编的程序和实际股市数据进行计算,以验证其有效性. [2,3] 1?线性不等式组的旋转算法 一个线性不等式组可以表示为以下形式:??????aix=bi,i=1,!,l, 基金项目:国家自然科学基金资助项目(79970004) :),,,? 26武汉大学学报(理学版)??????????????????第49卷
6、 ??????aix∀bi,i=l+1,!,m (1) ?(1/wrs)br- 其中x是n维未知列向量,ai是n维行向量,bi是标量,i=1,!,m.旋转算法用到以下一些基本概念.a1,!,am中一个最大线性无关组称为不等式组(1)的基,基中的量称为基向量,其余向量称为非基向量.基向量相应的(不)等式称为基(不)等式,否则称为非基(不)等式.由基等式和基不等式构成的不等式组称为基本不等式组.基本不等式组相应的方程组(将?∀改为?=)的解称为基本解. 下面介绍不等式组解法中的旋转运算公式.给定不等式组(1)的一个基,用I0、I1、I2、I3分别表示基等式、基不等式、非基不等式、非基等式
7、的编号集.设x 1 是基本解,即ajx=bj,j#I0#I1,并设 ai= j#I%I j#I%I ∃ (wrj/wrs)ajx1+bs= 1 ?(1/wrs)(br-arx1)+bs 所以asx2-bs=-(1/wrs)(arx1-br),或 ∋?s=-?r/wrs 其中?s=asx-bs.以上运算过程称为旋转运算,与线性规划的旋转运算类似 [7] ∋ 2 .wrs称
